Giải bài tập 2 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với n ∈ ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
a) $S1=1+\frac{1}{2^{1}}=\frac{3}{2},S2=1+\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}=\frac{7}{4},S3=1+\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}=\frac{15}{8}$
$T1=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},T2=2-\frac{1}{2}=\frac{7}{4},T3=2-\frac{1}{3}=\frac{15}{8}$
Vậy S1 = T1; S2 = T2; S3 = T3.
b) Ta dự đoán Sn = Tn với n ∈ ℕ*.
- Khi n = 1, ta có: S1 = T1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k+1}=T_{k+1}$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk = Tk.
Khi đó:
$S_{k+1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}=Sk+\frac{1}{2^{k+1}}$
$=Tk+\frac{1}{2^{k+1}}=(2-\frac{1}{2^{k}})+\frac{1}{2^{k+1}}=2-(\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}})$
$=2-(\frac{2}{2^{k+1}}-\frac{1}{2^{k+1}})=2-\frac{1}{2^{k+1}}=T_{k+1}$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*. Vậy Sn = Tn = $2-\frac{1}{2^{n}}$ với n ∈ ℕ*.
Bình luận