Giải bài tập 3 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều

a) $S1=\frac{1}{1\times 5}=\frac{1}{5},S2=\frac{1}{1 \times 5}+\frac{1}{5 \times 9}=\frac{2}{9}$

$S3=\frac{1}{1 \times 5}+\frac{1}{5 \times 9}+\frac{1}{9 \times 13}=\frac{3}{13},S4=\frac{1}{1\times  5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\frac{1}{13\times 17}=\frac{4}{17}$

b) Ta dự đoán $Sn=\frac{n}{4n+1}$

• Khi n = 1, ta có: $S1=\frac{1}{5}=\frac{1}{4 \times 1+1}$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k+1}=\frac{k+1}{4(k+1)+1}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $Sk=\frac{k}{4k+1}$

Khi đó:

$S=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+...+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}+\frac{1}{[4(k+1)-3][4(k+1)+1]}$

$=Sk+\frac{1}{[4(k+1)-3][4(k+1)+1]}=\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{[4(k+1)-3][4(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)[4(k+1)+1]}=\frac{k[4(k+1)+1]}{(4k+1)[4(k+1)+1]}$

$=\frac{k(4k+5)}{(4k+1)[4(k+1)+1]}+\frac{1}{(4k+1)[4(k+1)+1]}$

$=\frac{4k^{2}+5k}{(4k+1)[4(k+1)+1]}+\frac{1}{(4k+1)[4(k+1)+1]}$

$=\frac{4k^{2}+5k+1}{(4k+1)[4(k+1)+1}=\frac{(4k+1)(k+1)}{(4k+1)[4(k+1)+1]}$

$=\frac{k+1}{4(k+1)+1}$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*. Vậy $Sn=\frac{n}{4n+1}$ với n ∈ ℕ*.