Giải hoạt động trang 23 Chuyên đề toán 10 cánh diều
I. Phương pháp quy nạp toán học
Hoạt động: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n$^{2}$" với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra $k^{2} + [2(k + 1) – 1] = (k+1)^{2}$.
a) Ta có P(1): "1 = 1$^{2}$". Mệnh đề này đúng vì $1^{2}$ = 1.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k$^{2}$.
c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:
P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]
=$ k^{2} + [2(k+1) – 1] = k^{2} + (2k + 2 – 1) = k^{2} + 2k + 1 = (k+1)^{2}$
Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Bình luận