Giải bài tập 6 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 6. Chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n – 1}$ với n ∈ ℕ*, n ≥ 2.
- Khi n = 2, ta có: $2^{2} > (2 + 1)^{2 – 1} \Leftrightarrow 4 > 3.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý (k ≥ 2) mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^{k + 1} > [(k+1) + 1]^{(k + 1) – 1}$.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^{k} > (k + 1)^{k – 1}$.
Suy ra: $k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{k – 1} \times (k + 1)^{k + 1}$
$\Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{2k}$
$ \Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > [(k + 1)^{2}]^{k}$
$\Rightarrow k^{k} \times (k + 1)^{k + 1} > (k^{2} + 2k + 1)^{k} > (k^{2} + 2k)^{k} = [k(k + 2)]^{k}= k^{k} . (k + 2)^{k}$
$\Rightarrow (k + 1)^{k + 1} > (k + 2)^{k} = (k + 2)^{(k + 1) – 1}$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ ℕ*, n ≥ 2.
Bình luận