Giải bài tập 1 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập
Bài tập 1. Cho $Sn = 1 + 2 + 2^{2} +... + 2^{n}$ và $Tn = 2^{n+1} – 1$, với n ∈ ℕ*.
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
a) $S1 = 1 + 2^{1} = 3, S2 = 1 + 2 + 2^{2} = 7, S3 = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} = 15.$
$T1 = 2^{1+1} – 1 = 3, T2 = 2^{2+1} – 1 = 7, T3 = 2^{3+1} – 1 = 15.$
Vậy S1 = T1; S2 = T2; S3 = T3.
b) Ta dự đoán Sn = Tn với n ∈ ℕ*.
- Khi n = 1, ta có: S1 = T1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k+1}=T_{k+1}$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk = Tk.
Khi đó:
$Sk + 1 = 1 + 2 + 2^{2} +... + 2^{k} + 2^{k+1}$
$= Sk + 2^{k+1}$
$= Tk + 2^{k+1}$
$= (2^{k+1} – 1) + 2^{k+1}$
$= 2 \times 2^{k+1} – 1$
$= 2^{k+2} – 1$
$= 2^{(k + 1) + 1} – 1
=Tk + 1.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*. Vậy $Sn = Tn = 2^{n + 1} – 1$ với n ∈ ℕ*.
Bình luận