Giải bài tập 10 trang 30 Chuyên đề toán 10 cánh diều

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là  (đồng) (n ∈ ℕ*)".

• Khi n = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A x r% = $\frac{A\times r}{100}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

$A+\frac{A\times r}{100}=\frac{A(100+r)}{100}=\frac{A(100+r)}{r}\times \frac{r}{100}$

$=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})-1]$

$=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})-1]$ (đồng)

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là 

$T_{k+1}=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1}-1]$ (đồng)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau k (năm) là:

$Tk=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k}-1]$ (đồng)

Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:

Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: Tk + A (đồng).

Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là: (Tk + A) x r% (đồng).

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là: (Tk + A) + (Tk + A) x r%

$=(Tk+A)+(Tk+A)\times \frac{r}{100}=(Tk+A)(1+\frac{r}{100})$

={$\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k}-1]+A$} x $(1+\frac{r}{100})$

$=\frac{A(100+r}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k}-1](1+\frac{r}{100})+A(1+\frac{r}{100})$

$=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1}-(1+\frac{r}{100})]+A\times \frac{100+r}{100}$

$=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1}-(1+\frac{r}{100})]+A\times \frac{100+r}{r}\times \frac{r}{100}$

$=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1}-(1+\frac{r}{100})+\frac{r}{100}]$

$=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1}-1]=T_{k+1}$ (đồng)

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*. Từ đó ta có điều phải chứng minh.