Giải bài tập 4 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 4. Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2} +... + q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$ với n ∈ ℕ*.
- Khi n = 1, ta có: $1=\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q}{1-q^{1}}$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $1 + q + q^{2} +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1} = \frac{1-q^{k+1}}{1-q}$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $1 + q + q^{2} +... + q^{k – 1} = \frac{1-q^{k}}{1-q}$
Khi đó:
$1 + q + q^{2} +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1}$
$= (1 + q + q^{2} +... + q^{k – 1}) + q^{(k + 1) – 1}$
$=\frac{1-q^{k}}{1-q}+q^{(k+1)-1}=\frac{1-q^{k}}{1-q}+q^{k}$
$=\frac{1-q^{k}}{1-q}+\frac{q^{k}(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^{k}}{1-q}+\frac{q^{k}-q^{k+1}}{1-q}$
$=\frac{(1-q^{k})+(q^{k}-q^{k+1})}{1-q}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Bình luận