Giải luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề toán 10 cánh diều

a)

• Khi n = 1, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{1}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1=\sqrt{1+1}-1$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}=\sqrt{(k+1)+1}-1$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1$

Khi đó:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}})+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1}}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+\frac{\sqrt{(k+1)}+1-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{(k+1)+1})(\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1}}$

$=\sqrt{\sqrt{k+1}-1}+\frac{\sqrt{(k+1)+1}-\sqrt{k+1}}{[(k+1)+1]-(k+1)}$

$=(\sqrt{k+1}-1)+(\sqrt{9k+1)+1}-\sqrt{k+1})$

$=\sqrt{(k+1)+1}-1$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈  ℕ*.

b)

• Khi n = 2, ta có: $\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}=\frac{7}{9}=\frac{2(2^{2}+2+1)}{3 2(2+1)}$

Vậy mệnh đề đúng với n = 2.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:

$\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{(k+1)^{3}-1}{(k+1)^{3}+1}=\frac{2[(k+1)^{2}+(k+1)+1}{3(k+1)[(k+1)+1]}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}=\frac{2(k^{2}+k+1)}{3k(k+1)}$

Khi đó:

$\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{(k+1)^{3}-1}{(k+1)^{3}+1}$

$=\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}\times\frac{(k+1)^{3}-1}{(k+1)^{3}+1}$

$=(\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1})\times\frac{(k+1)^{3}-1}{(k+1)^{3}+1}$

$=\frac{2(k^{2}+k+1)}{3k(k+1)}\times\frac{(k+1)^{3}-1}{(k+1)^{3}+1}$

$=\frac{2(k^{2}+k+1)}{3k(k+1)}\times\frac{[(k+1)-1][(k+1)^{2}+(k+1)+1}{[(k+1)^{2}-(k+1)+1]}$

$=\frac{2(k^{2}+k+1)}{3k(k+1)}\times\frac{k[(k+1)^{2}+(k+1)+1}{[(k+1)+1](k^{2}+k+1)}$

$=\frac{2}{3(k+1)}\times\frac{[(k+1)^{2}+(k+1)+1]}{[(k+1)+1]}$

$=\frac{2[(k+1)^{2}+(k+1)+1]}{3(k+1)[(k+1)+1]}$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.