Giải bài tập 5 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 5. Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:
a) $4^{n} + 15n – 1$ chia hết cho 9;
b) $13^{n} – 1$ chia hết cho 6.
a)
- Khi n = 1, ta có: $4^{1} + 15 \times 1 – 1 = 18 ⁝ 9.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $4^{k+1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $4^{k} + 15k – 1 ⁝ 9.$
Khi đó:
$4^{k + 1} + 15(k+1) – 1$
$= 4 \times 4^{k} + 15k + 14$
$= 4\times 4^{k} + (60k – 45k) + (–4 + 18)$
$= (4 \times 4^{k} + 60k – 4) – 45k + 18$
$= 4 \times (4^{k} + 15k – 1) – 45k + 18$
Vì $4^{k} + 15k – 1, 45k$ và 18 đều chia hết cho 9 nên $4 \times (4^{k} + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9,$ do đó $4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
b)
- Khi n = 1, ta có: $13^{1} – 1 = 12 ⁝ 6.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $13^{k + 1} – 1 ⁝ 6$.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $13^{k} – 1 ⁝ 6.$
Khi đó:
$13^{k + 1} – 1$
$= 13 \times 13^{k} – 1$
$= 13 \times 13^{k} – 13 + 12$
$= 13 \times (13^{k} – 1) + 12$
Vì $13^{k} – 1$ và 12 đều chia hết cho 6 nên $13 \times (13^{k} – 1) + 12 ⁝ 6$, do đó $13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Bình luận