Giải bài tập 7 trang 29 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 7. Chứng minh $a^{n} – b^{n} = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1})$ với n ∈ ℕ*.
- Khi n = 1, ta có: $a^{1} – b^{1} = a – b.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
$a^{k + 1} – b^{k + 1} = (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}]$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$a^{k} – b^{k} = (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2 }+ b^{k – 1})$
Khi đó:
$a^{k + 1} – b^{k + 1}$
$= a \times a^{k} – b \times b^{k}$
$= a \times a^{k} – a \times b^{k} + a \times b^{k} – b \times b^{k}$
$= a \times (a^{k} – b^{k}) + b^{k} \times (a – b)$
$= a v (a – b)(a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2 }+ b^{k – 1}) + b^{k} \times (a – b)$
$= (a – b) \times a \times (a^{k – 1} + a^{k – 2}b + ... + ab^{k –2} + b^{k – 1}) + (a – b) \times b^{k}$
$= (a – b)(a \times a^{k – 1} + a \times a^{k – 2}b + ... + a \times ab^{k – 2} + a \times b^{k – 1}) + (a – b) \times b^{k}$
$= (a – b)[a^{1 + (k – 1)} + a^{1 + (k – 2)}b + ... + a^{2}b^{k – 2} + a \times b^{k – 1}) + (a – b) \times b^{k}$
$= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + a^{2}b^{(k + 1) – 3} + ab^{(k + 1) –2}] + (a – b) \times b^{(k + 1) – 1}$
$= (a – b)[a^{(k + 1) – 1} + a^{(k + 1) – 2}b + ... + ab^{(k + 1) –2} + b^{(k + 1) – 1}]$.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Bình luận