Giải bài tập 11 trang 30 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 11. Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $Sn=A(1+\frac{r}{100m})^{m\times n}$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.
Xét mệnh đề P(x): "Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau x (kì hạn) gửi là $Sn=A(1+\frac{r}{100m)})^{x}$ (đồng) (x ∈ ℕ*)".
Vì một năm có m kì hạn nên lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r%}{m}=\frac{r}{100m}$
- Khi x = 1:
Số tiền lãi người đó nhận được là: A x $\frac{r}{100m}$ (đồng).
Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:
A+A x $\frac{r}{100m}=A(1+\frac{r}{100m})=A(1+\frac{r}{100m})^{1}$ (đồng)
Vậy mệnh đề đúng với x = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau (k + 1) (kì hạn) gửi là $Sn=A(1+\frac{r}{100m})^{k+1}$ (đồng).
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là $Sn=A(1+\frac{r}{100m})^{k}$ (đồng).
Vì sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu nên số tiền lại ở kì hạn thứ (k + 1) là: $A(1+\frac{r}{100m})^{k}$ x $\frac{r}{100m}$ (đồng).
Suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:
$A(1+\frac{r}{100m})^{k}+A(1+\frac{r}{100m})^{k}$ x $\frac{r}{100m}$
$=A(1+\frac{r}{100m})^{k}(1+\frac{r}{100m})=A(1+\frac{r}{100m})^{k+1}$ (đồng)
Vậy mệnh đề cũng đúng với x = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi x ∈ ℕ*.
Sau n (năm) thì số kì hạn người đó đã gửi là: m x n (kì hạn).
Do đó, số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là:
$Sn=A(1+\frac{r}{100m})^{m\times n}$ (đồng)
Bình luận