Giải bài tập 8 trang 38 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 8. Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:
$(a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$ với n ∈ ℕ*.
- Với n = 1, ta có: $(a+1)^{1}=a+b=C_{1}^{0}a+C_{1}^{1}b$
Vậy công thức đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:
$(a+b)^{k+1}=C_{k+1}^{0}a^{k+1}+C_{k+1}^{1}a^{(k+1)-1}b+...+C_{k+1}^{(k+1)-1}ab^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}b^{k+1}$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+...+C_{k}^{k-1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}$
Khi đó: $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$
$=a(a+b)^{k}+b(a+b)^{k}$
$=a(C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+...+C_{k}^{k-1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k})+b(C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+...+C_{k}^{k-1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k})$
$=(C_{k}^{0}a^{k+1}+C_{k}^{1}a^{k}b+C_{k}^{2}a^{k-1}b^{2}+...+C_{k}^{k-1}a^{2}b^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k})+(C_{k}^{0}a^{k}b+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{2}+...+C_{k}^{k-2}a^{2}b^{k-1}+C_{k}^{k-1}ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1})$
$=C_{k}^{0}a^{k+1}+(C_{k}^{0}+C_{k}^{1})a^{k}b+(C_{k}^{1}+C_{k}^{2})a^{k-1}b^{2}+...+(C_{k}^{k-2}+C_{k}^{k-1})a^{2}b^{k-1}+(C_{k}^{k-1}+C_{k}^{k})ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1}$
$=a^{k+1}+C_{k+1}^{1}a^{k}b+C_{k+1}^{2}a^{k-1}b^{2}+...+C_{k+1}^{k-1}a^{2}b^{k-1}+C_{k+1}^{k}ab^{k}+b^{k+1}$ (vì $C_{k}^{i}+C_{k}^{i+1}=C_{k+1}^{i+1}\forall 0\leq i\leq k,i\in N,k\in N$*)
$=C_{k+1}^{0}a^{k+1}+C_{k+1}^{1}a^{(k+1)-1}b+...+C_{k+1}^{(k+1)-1}ab^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}b^{k+1}$
Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Bình luận