Giải bài tập 9 trang 38 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Bài tập 9. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
a) $n^{5}$ – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;
b) n$^{7}$ – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.
a)
- Với n = 1, ta có: 1$^{5}$ – 1 = 0 ⁝ 5.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^{5} – (k + 1) ⁝ 5.$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^{5} – k ⁝ 5.$
Khi đó:
$(k+1)^{5}-(k+1)$
$=(k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1)-(k+1)$
$=(k^{5}-k)+(5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k)$
Mà $(k^{5} - k)$ và $(5k^{4} + 10k^{3} + 10k^{2} + 5k)$ đều chia hết cho 5, do đó
$(k^{5} - k) + (5k^{4} + 10k^{3} + 10k^{2} + 5k) ⁝ 5$ hay $(k + 1)^{5} – (k + 1) ⁝ 5.$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
b)
- Với n = 1, ta có: $1^{7} – 1 = 0 ⁝ 7.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
- Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^{7} – (k + 1) ⁝ 7.$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^{7} – k ⁝ 7.$
Khi đó:
$(k + 1)^{7} – (k + 1)$
$= (k^{7} + 7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k +1) - (k+ 1)$
$= (k^{7} - k) + (7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k)$
Mà $(k^{7} - k)$ và $(7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k)$ đều chia hết cho 7, do đó
$(k^{7} - k) + (7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k) ⁝ 7$ hay $(k + 1)^{7} – (k + 1) ⁝ 7.$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Bình luận