Giải bài tập 1 trang 48 Chuyên đề toán 10 cánh diều

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a$^{2}$ = 9.
• Elip có một tiêu điểm là F1(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra $b^{2} = a^{2} – c^{2} = 3^{2} – 2^{2} = 5.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c$^{2}$ = 36.
• Elip có tâm sai bằng  suy ra  

$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow  \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow  a=10$

$\Rightarrow b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• Elip có tâm sai $\frac{\sqrt{5}}{3}$, bằng  suy ra  

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}\Rightarrow  \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9} \Rightarrow 1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}$

$\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{9} \frac{b}{a}=\frac{2}{3} b=\frac{2}{3}a$ (1)

• Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20

$\Rightarrow 2(2a+2b)=20 a+b=5$ (2)

Thế (1) vào (2) ta được

$\frac{2}{3}a+a=5 \Rightarrow \frac{5}{3}a=5\Rightarrow  a=3\Rightarrow  b=\frac{2}{3}a = \frac{2}{3}$ x 3 = 2

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$