Giải bài tập 2 trang 48 Chuyên đề toán 10 cánh diều

a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.

Suy ra $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

vậy tâm sai của elip là $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).

Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = $\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{(0-a)^{2}+(b-0)^{2}}=2\sqrt{a^{2}-b^{2}}\Rightarrow a^{2}+b^{2}=4(a^{2}-b^{2})$

$\Rightarrow 3a^{2}=5b^{2}\Rightarrow b^{2}=\frac{3}{5}a^{2}\Rightarrow c^{2}=a^{2}-\frac{3}{5}a^{2}=\frac{2}{5}a^{2}$

$\Rightarrow \frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{5}\Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}$