Slide bài giảng toán 8 cánh diều bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Tóm lược nội dung

BÀI 3. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (4 tiết)

I. Hằng đẳng thức

Hoạt động 1 (Trang 18): 

Xét hai biểu thức: P = 2(x+y) và Q = 2x+2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:

a. Tại x = 1; y = - 1.

b. Tại x = 2; y = - 3

Trả lời rút gọn:

a) Thay x = 1; y = −1 vào biểu thức P và Q, ta được:

+) P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;

+) Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0.

Vậy tại x = 1; y = −1 thì P = Q.

b) Thay x = 2; y = −3 vào biểu thức P và Q, ta được:

+) P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;

+) Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2.

Vậy tại x = 2; y = −3 thì P = Q.

Luyện tập 1 (Trang 18):

Chứng minh rằng:

Trả lời rút gọn:

Ta có:

 x(xy² + y) – y(x²y + x) 

= x . xy² + x . y – y . x²y – y . x

= x²y² + xy – x²y² – xy 

= (x²y² – x²y²) + (xy – xy) 

= 0 + 0 = 0 (đpcm)

II. Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, hiệu

Hoạt động 2 (Trang 18): 

Với a,b là 2 số thức bất kì, thực hiện phép tính: 

a. (a+b)(a+b) 

b. (a-b)(a-b)

Trả lời rút gọn:

1. (a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a² + 2ab + b²;
2. (a – b)(a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a² – 2ab + b².

Luyện tập 2 (Trang 18): 

Tính:

a)

b)

c)

d)

Trả lời rút gọn:

a)

b) (2x + y)² 

= (2x)² + 2 . 2x . y + y² 

= 4x² + 4xy + y²;

c) (3 – x)² 

= 3² – 2 . 3 . x + x²

= 9 – 6x + x²;

d) (x – 4y)² 

= x² – 2 . x . 4y + (4y)² 

= x² – 8xy + 16y².

Luyện tập 3 (Trang 18): 

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a)

b)

Trả lời rút gọn:

a) y² + y +  

= y² + 2.y + ()²

= (y + )²

b) y² + 49 – 14y 

= y² – 2 . 7 . y + 7² 

= (y – 7)².

Luyện tập 4 (Trang 18): 

Tính nhanh 49²

Trả lời rút gọn:

2. Hiệu của hai bình phương

Hoạt động 3 (Trang 19):

Với a, b là 2 số thực bất kì. Thực hiện phép tính: (a-b)(a+b)

Trả lời rút gọn:

Ta có: 

(a – b)(a + b) 

= a . a + a . b – b . a + b . b 

= a² – b².

Luyện tập 5 (Trang 20): 

Viết biểu thức sau dưới dạng tích:

a)

b)

Trả lời rút gọn:

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4² = (3x + 4)(3x – 4);

b) 25 – 16y² = 5² – (4y)² = (5 + 4y)(5 – 4y).

Luyện tập 6 (Trang 20): 

Tính: 

a) (a-3b)(a+3b);

b) (2x + 5)(2x – 5);

c) (4y – 1)(4y + 1).

Trả lời rút gọn:

a) (a – 3b)(a + 3b) = a² – (3b)² = a² – 9b²;

b) (2x + 5)(2x – 5) = (2x)² – 5² = 4x² – 25;

c) (4y – 1)(4y + 1) = (4y)² – 1 = 16y² – 1.

Luyện tập 7 (Trang 20): 

Tính nhanh 48.52

Trả lời rút gọn:

Ta có: 48 . 52 

= (50 – 2)(50 + 2) 

= 50² – 2² = 2500 – 4 

= 2496.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Hoạt động 4 (Trang 20): 

Với a,b là 2 số thực bất kì, thực  hiện phép tính:

a)

Trả lời rút gọn:

a) (a + b)(a + b)²

= (a + b)(a² + 2ab + b²)

= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

= a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

b) (a – b)(a² – 2ab + b²)

= a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²)

= a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b²

= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³

= a³ – (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Luyện tập 8 (Trang 21): 

Tính: 

a)

b)

c)

Trả lời rút gọn:

a) (3 + x)²

= 3³ + 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² + x³ 

= 27 + 27x + 9x² + x³;

b) (a + 2b)³ 

= a³ + 3 . a² . 2b + 3 . a . (2b)² + (2b)³

= a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³;

c) (2x – y)³ 

Luyện tập 9 (Trang 21): 

Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu:

Trả lời rút gọn:

Ta có: 

8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³

= (2x)³ – 3 . (2x)² . 3y + 3 . 2x . (3y)² – (3y)³

= (2x – 3y)³.

Luyện tập 10 (Trang 21): 

Tính nhanh:

Trả lời rút gọn:

Ta có:

 101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1

= 101³ – 3 . 101² . 1 + 3 . 101 . 1² – 1³

= (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000.

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Hoạt động 5 (Trang 21): 

Với a,b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính: 

a)

b)

Trả lời rút gọn:

 a) (a + b)(a² – ab + b²) 

= a . a² – a . ab + a . b² + b . a² – b . ab + b . b²

= a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ 

= a³ + b³.

b) (a – b)(a² + ab + b²) 

= a . a² + a . ab + a . b² – b . a² – b . ab – b . b²

= a³ + a²b + a²b – a²b – a²b – b³ 

= a³ – b³.

Luyện tập 11 (Trang 22): 

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a)

b)

Trả lời rút gọn:

a) 27x³ + 1 

= (3x)³ + 1³ 

= (3x + 1)[(3x)² – 3x . 1 + 1²]

b) 64 – 8y³ 

= 4³ – (2y)³ 

= (4 + 2y)(4 – 2y).

III) Bài tập

Bài 1 (Trang 23): 

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a)

b)

c)

d)

Trả lời rút gọn:

1. 4x² + 28x + 49 = (2x)² + 2 . 2x . 7 + 7² = (2x + 7)²;
2. 4a² + 20ab + 25b² = (2a)² + 2.2a.5b + (5b)² = (2a+5b) ²;
3. 16y² – 8y + 1 = (4y)² – 2 . 4y . 1 + 1² = (4y – 1)²;
4. 9x² − 6xy + y²  = (3x) ² − 2.3x.y + y² =(3x−y)²

Bài 2 (Trang 23): 

Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) a³ +12a² + 48a + 64 ;

b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y^3 ;

c) x³ – 9x² + 27x – 27;

d) 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³ _.

Trả lời rút gọn:

a) a³ +12a² + 48a + 64 = a³ + 3 . a² . 4 + 3 . a . 4² + 4³ = (a + 4)³;

b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³ = (3x+2y)³;

c) x³ – 9x² + 27x – 27 = x³ – 3 . x² . 3 + 3 . x . 3² – 3³ = (x – 3)³;

d) 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³ = (2a−b)³

Bài 3 (Trang 23): 

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 25x² – 16;

b) 8x³ + 1;

c) 8x³ – 125;

d) 27x³ – y³ ;

e) 16a² – 9b² ; 

g) 125x³ + 27y³ .

Trả lời rút gọn:

a) 25x² – 16 

= (5x)² – 4² 

= (5x + 4)(5x – 4);

b) 8x³ + 1 

= (2x)³ + 1 

= (2x + 1)[(2x)² – 2x . 1 + 1²] 

= (2x + 1)(4x² – 2x + 1);

c) 8x³ – 125 

= (2x)³ – 5³ 

= (2x – 5)[(2x)² + 2x . 5 + 5²]

= (2x – 5)(4x² + 10x + 25);

d) 27x³ – y³ 

= (3x)³ – y³ 

= (3x – y)[(3x)² + 3x.y + y²]

= (3x – y)(9x² + 3xy + y²)

e) 16a² – 9b² 

= (4a)² – (3b)² 

= (4a + 3b)(4a – 3b);

g) 125x³ + 27y³ 

= (5x)³ + (3y)³ 

= (5x + 3y)[(5x)² – 5x . 3y + (3y)²]

= (5x + 3y)(25x² – 15xy + 9y²);

Bài 4 (Trang 23): 

Tính giá trị của mỗi biểu thức: 

a) A = x² + 6x + 10 tại x = -103;

b) B = x³ + 6x² + 12x + 12 tại x = 8.

Trả lời rút gọn:

a) Ta có:

 A = x² + 6x + 10 

= x² + 6x + 9 + 1 

= (x + 3)² + 1.

Tại x = -103 ta có: 

A = (−103 + 3)² + 1 = (−100)² + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.

Vậy A = 10 001 tại x = −103.

b) Ta có:

 B = x³ + 6x² + 12x + 12 

= x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² + 2³ + 4

= (x + 2)³ + 4.

Thay x = 8 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 + 2)³ + 4 = 10³ + 4 = 1004.

Vậy B = 1004 tại x = 8.

Bài 5 (Trang 23): 

a)  C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

Trả lời rút gọn:

a) Ta có:

 C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

= [(3x – 1) – (3x + 1)]²

= (3x – 1 – 3x – 1)²

= (– 1 – 1)²

= (–2)²= 4.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²] – 12(x² + 1)

= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)² + x² – 2² + (x – 2)²] – 12x² – 12

= 4(x² + 4x + 4 + x² – 4 +x²– 4x + 4) – 12x² – 12

= 4(3x² + 4) – 12x² – 12

= 12x² + 16 – 12x² – 12 = 4.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

= (x³ + 3³) – (x³ – 2³) 

= x³ + 27 – x³+ 8 

= 35.

Vậy biểu thức E không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

= [(2x)³ – 1³]– 8(x³ + 2³) = (8x³ – 1) – 8(x³ + 8)

= 8x³ – 1–8x³ – 64 

= – 65.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Bài 6 (Trang 23):

Tính nhanh:

(0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 0,24

Trả lời rút gọn:

Ta có (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 0,24

= (0,76 + 0,24)³ – 3 . 0,76 . 0,24 . (0,76 + 0,24) + 3 . 0,76 . 0,24

= 1³ – 3 . 0,76 . 0,24 . 1 + 3 . 0,76 . 0,24