Slide bài giảng toán 8 cánh diều bài 1: Phân thức đại số

Tóm lược nội dung

CHƯƠNG II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. Khái niệm về phân thức đại số

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 (Trang 29): 

Cho biểu thức

a. Biểu thức 2x+1 có phải là đa thức hay không?

b. Biểu thức x-2 có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?

Trả lời rút gọn:

a) Biểu thức là đa thức.

b) Biểu thức là đa thức khác đa thức 0.

Luyện tập 1 (Trang 30): 

Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

a)  

b)  

Trả lời rút gọn:

a) Do và là các đa thức và đa thức khác đa thức 0 nên biểu thức là phân thức.

b) Do biểu thức không phải là các đa thức nên biểu thức không phải là phân thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Hoạt động 2 (Trang 29): 

Cho hai phân số và . Nêu quy tắc để hai phân số đó bằng nhau.

Trả lời rút gọn:

Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:

Hai phân số và được gọi là bằng nhau nếu , viết là .

Luyện tập 2 (Trang 30): 

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau hay không? Vì sao?

a)

b) và

Trả lời rút gọn:

a) Ta có: (x + y)(x – y) = x – y và (x² – y²) . 1 = x² – y².

Nên (x + y)(x – y) = (x² – y²) . 1.

Vậy

b) Ta có: và

Do . 1 nên hai phân thức và không bằng nhau.

II. Tính chất cơ bản của phân thức

1. Tính chất cơ bản

Hoạt động 3 (Trang 31): 

a. Tìm số thích hợp cho ?: 

b. Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số

Trả lời rút gọn:

a) Áp dụng tính chất cơ bản của phân số, ta có: 

Do đó số cần điền vào ⍰ là –14 .

Do đó số cần điền vào ⍰ là 1.

b) Tính chất cơ bản của phân số là:

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một ước chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Luyện tập 3 (Trang 32): 

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

Trả lời rút gọn:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:

(theo tính chất cơ bản của phân thức).

2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Hoạt động 4 (Trang 32): 

Cho phân thức:

a. Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu.

b. Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 

Trả lời rút gọn:

a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.

b) Ta có:

Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là .

Luyện tập 4 (Trang 32): 

Rút gọn mỗi phân thức sau:

a)

b)

Trả lời rút gọn:

a)

b)

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Hoạt động 5 (Trang 33): 

Cho hai phân thức và

a. Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x. 

b. Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được?

Trả lời rút gọn:

Cho hai phân thức và

a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:

Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:

b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau và đều bằng x²y².

Hoạt động 6 (Trang 33): 

Tìm MTC của hai phân thức

và

Trả lời rút gọn:

Mô tả cách tìm mẫu thức chung của hai phân thức và .

Hoạt động 7 (Trang 37): 

Quy đồng mẫu thức hai phân thức

Trả lời rút gọn:

- Bước 1: Chọn mẫu thức chung là

- Bước 2: Tìm nhân tử chung của mỗi mẫu thức

- Bước 3: 

Luyện tập 5 (Trang 34): 

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) và

b) và

Trả lời rút gọn:

a) và

Ta có MTC:

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

b) và

Ta có

Suy ra MTC:

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

; 

.

III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức.

Hoạt động 8 (Trang 34): 

Cho phân thức  

Tìm giá trị của x sao cho mẫu x-2 ≠0. 

Trả lời rút gọn:

Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2.

Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x ≠ 2.

Hoạt động 9 (Trang 35): 

Tính giá trị của biểu thức tại

Trả lời rút gọn:

Giá trị của biểu thức tại là .

Luyện tập 6 (Trang 36): 

Cho phân thức

a. Viết điều kiện xác định của phân thức.

b. Tính giá trị của phân thức tại x=10 và x=-1

Trả lời rút gọn:

a) Điều kiện xác định của phân thức là x² + x ≠ 0.

b) Với x = 10 ta thấy

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 10 là: 

Vậy giá trị của phân thức tại x = 10 là

• Với x = −1 ta thấy

Nên x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.

IV. Bài tập

Bài 1 (Trang 37): 

Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a)  

b)  

c)  

Trả lời rút gọn:

a) Điều kiện xác định của phân thức là 3y + 3 ≠ 0;

b) Điều kiện xác định của phân thức là y² + 16 ≠ 0;

c) Điều kiện xác định của phân thức là x – y ≠ 0.

Bài 2 (Trang 37):

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a)

b)

c)

Trả lời rút gọn:

a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy

Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.

Do đó

b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.

Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).

Do đó

c) Ta có (x² – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x² – x + 1) = x(x³ + 1);

Vì (x² – x + 1) . x(x + 1) = x(x³ + 1) nên

Bài 3 (Trang 37): 

Rút gọn mỗi phân thức sau:

a)

b)

Trả lời rút gọn:

a)

b)

Bài 4 (Trang 37): 

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

Trả lời rút gọn:

a) Ta có MTC:

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

b) Ta có:

Suy ra MTC:

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

Bài 5 (Trang 37): 

Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như Hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x=5.

Trả lời rút gọn:

a) Trong Hình 1:

• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là (cm); chiều rộng là (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (cm²).

• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (cm²).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

b) Điều kiện xác định của phân thức là

• Ta thấy

Do đó, giá trị của phân thức tại là .

• Ta thấy

Do đó, giá trị của phân thức tại là .

Bài 6 (Trang 37): 

Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc, ...) là 80 triệu. Biết chi phí đề sản xuất (tiền mua vật liệu, lương nhân công) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.

a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.

b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.

c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.

Trả lời rút gọn:

a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.

Khi đó, chi phí để sản xuất của x sản phẩm là nghìn đồng.

Do đó, số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được sản phẩm là:

(nghìn đồng).

Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là (nghìn đồng).

b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: (nghìn đồng).

c) Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là:

(nghìn đồng).

Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là:

(nghìn đồng).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.