Giải Hoạt động 5 trang 108 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

              $B­_{1} ∈ (ACC’)$ và $B_{1}$ ∈ (Q) nên $B_{1}$ là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = $BB_{1}$.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

           (ACC’) ∩ (Q) = $BB_{1}$;

           (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB1 // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

                                                      (AA’C’) ∩ (P) = AA’;

                                                      (AA’C’) ∩ (Q) = $B_{1}B’$.

Suy ra $B_{1}B’$ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét ΔACC’ có: BB1 // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_{1}}{AC'}$, suy ra $\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{CA}{C'A}$

$\frac{BC}{AC}=\frac{B_{1}C'}{AC'}$, suy ra $\frac{BC}{B_{1}C'}=\frac{CA}{C'A}$

Do đó $\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C'}=\frac{CA}{C'A}$

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét Δ AA’C’có: $B_{1}B’$ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AB_{1}}{AC'}=\frac{A'B'}{A'C'}$, suy ra $\frac{AB_{1}}{A'B'}=\frac{C'A}{C'A'}$

$\frac{B_{1}C'}{AC'}=\frac{B'C'}{A'C'}$, suy ra $\frac{B_{1}C'}{B'C'}=\frac{C'A}{C'A'}$

Do đó $\frac{AB_{1}}{A'B'}=\frac{B_{1}C'}{B'C'}=\frac{C'A}{C'A'}$

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_{1}}{AC'}$ và $\frac{AB_{1}}{AC'}=\frac{A'B'}{A'C'}$ nên $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}(=\frac{AB_{1}}{AC'}$)

Do đó $\frac{AB}{A'B'}=\frac{CA}{C'A'}$

$\frac{BC}{AC}=\frac{B_{1}C'}{AC'}$ và $\frac{B_{1}C'}{AC'}=\frac{B'C'}{A'C'}$ nên $\frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'}(=\frac{B_{1}C'}{AC'}$)

Do đó $\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$

Vậy $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$