Giải Bài tập 4 trang 109 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành) 

Mà AD thuộc (AFĐ), BC thuộc (BEC) 

Nên (AFD) // (BEC) 

b) Trong (ABEF) kẻ đường thẳng d qua M // AF

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD) 

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2) 

(1)(2) suy ra (IJH) trùng (P) và // (AFD) 

Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD) 

Suy ra: IH cắt AC tại N

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ

Gọi O là trung điểm của AB

Có M là trọng tâm $\triangle $ABE

Suy ra: $\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}$

Ta có: AB // CD suy ra: AI // CH

Định lí Ta-lét: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{CH}$

mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)

Suy ra: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}$

Ta có: AB // EF nên OI // EJ

Do đó: $\frac{OI}{EJ}=\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}$

Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)

Suy ra: $\frac{OI}{IB}=\frac{1}{2}$ hay IB = 2OI

Ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{AO+OI}{2OI}$

Mà OA = OB (O là trung điểm AB)

Nên $\frac{AN}{NC}=\frac{OB+OI}{2OI}=2$

Do đó: $\frac{AN}{NC}=2$.