Giải câu 9 bài ôn tập chương 4: Giới hạn

• Câu A sai

“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.

Ví dụ dãy số: \({u_n} = {{{{(-1)}^n}} \over n}\)có \(\lim {{{{( - 1)}^n}} \over n} = 0\)

Ta có: \({u_1} =  - 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} =  - {1 \over 3}\) nên dãy không tăng cũng không giảm.

• Câu B sai

“Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim(u_n) = + ∞\)” là mệnh đề sai

Ví dụ dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = 1 - {1 \over n}\)

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = (1 - {1 \over {n + 1}}) - (1 - {1 \over n}) = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = {1 \over {n(n + 1)}} > 0\)nên \((u_n)\) là dãy số tăng. \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim (1 - {1 \over n}) = 1\)

• Câu C sai

Ví dụ hai dãy số \({u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1\)

• \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}({1 \over n} + {1 \over {{n^2}}})}} = \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n2}}}} =  + \infty \)
• \(\lim {v_n} = \lim (n + 1) =  + \infty \)
• \( \lim ({u_n} - {v_n}) = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} - (n + 1)} \right] = \lim {{ - 3n - 2} \over {n + 2}}\)

\(=\lim {{n( - 3 - {2 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}} = \lim {{ - 3 - {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = - 3 \ne 0\)

• Câu D đúng vì \(\lim q^n= 0\) khi \(|q| <1\).

Do đó: \(-1 < a < 0\) thì \(\lim q^n= 0\)

Vậy chọn đáp án D.