Giải bài tập 2.50 trang 43 SBT toán 11 tập 1 kết nối

a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:

$u_{1} = a$;

$u_{2} = qu_{1} + d$;

$u_{3}=qu_{2}+d=q(qu_{1}+d)+d = q^{2}u_{1} + qd + d = q^{2}u_{1}+ d(q + 1)$;

$u_{4}=qu_{3}+d=q(q^{2}u_{1}+qd+d) + d = q^{3}u_{1} + q^{2}d + qd + d$

$= q^{3}u_{1}+d(q^{2}+q + 1)=q^{3}u_{1}+d\frac{1-q^{3}}{1-q}$ (với $q \neq 1$).

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát un:

$u_{n}=q^{n-1}u_{1}+d(q^{n-2}+q^{n-3} + ... + 1)=q^{n-1}u_{1}+ d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$

b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+ ... + u_{n}$

$= u_{1} + (qu_{1}+d)+(qu_{2}+ d) + ... + (qu_{n -1} + d)$

$= u_{1} +q(u_{1}+u_{2}+ ... + u_{n-1}) + (n-1)d$

$= u_{1} + qS_{n-1} + (n-1)d$

$= qS_{n -1} + a + (n-1)d$ (vì $u_{1} = a$).

Như vậy, ta được $(S_{n})$ cũng là một cấp số nhân cộng với $S_{1} = u_{1} = a$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính $S_{n}$ ta có

$S_{n}=q^{n-1}S_{1}+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}a+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$