Giải bài tập 2.39 trang 41 SBT toán 11 tập 1 kết nối

Đáp án: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là $u_{1}; u_{2}; u_{3}; u_{4}; u_{5}$ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên $q \neq 0$

+ Nếu q = 1 thì $u_{1}= u_{2}=u_{3}=u_{4}=u_{5}$ , do đó $u_{1}+u_{2}+u_{3}+ u_{4}+u_{5}=5u_{1}=31$ 

Suy ra $u_{1}=u_{2}=u_{3}=u_{4}=u_{5}=\frac{31}{5}$ . Khi đó $u_{1}.u_{2}. u_{3}.u_{4}.u_{5}=(\frac{31}{5})^{5} \neq 1024$ (Vô lí.)

Vậy $q \neq 1$

+ Với $q \neq {0; 1}$. Khi đó $u_{2} = u_{1}q; u_{3} = u_{1}q^{2}; u_{4} = u_{1}q^{3}; u_{5} = u_{1}q^{4}$.

Ta có $u_{1}. u_{2}. u_{3}.u_{4}. u_{5}=u_{1}^{5}.q^{1+2+3+4}=u_{1}^{5}.q^{10}=(u_{1}q^{2})^{5}=1024=4^{5}$ . Suy ra $u_{1}q_{2} = 4$. 

Suy ra $u_{1}=\frac{4}{q^{2}}$

Lại có $u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = S_{5} = \frac{u_{1}(1-q^{5})}{1-q} = \frac{\frac{4}{q^{2}}(1-q^{5})}{1-q}=31$

Suy ra $4(1-q^{5}) = 31q^{2}(1-q)$

$ \Leftrightarrow 4(1-q)(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4})-31q^{2}(1 -q) = 0$

$ \Leftrightarrow (1-q) (4 + 4q + 4q^{2} + 4q^{3} + 4q^{4}-31q^{2}) = 0$

$ \Leftrightarrow (1-q)(4q^{4} + 4q^{3}-27q^{2} + 4q + 4) = 0$

$ \Leftrightarrow q=1$ hoặc $4q^{4}+4q^{3}-27q^{2} +4q+4=0 (*)$

Vì $q \neq 1$ nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho $q_{2}$ (do $q \neq 0$) ta được

$4q^{2}+4q-27+\frac{4}{q}+\frac{4}{q^{2}}=0$

$ \Leftrightarrow (4q^{2}+8+\frac{4}{q^{2}})+(4q+\frac{4}{q})-35=0$

$ \Leftrightarrow (2q+\frac{2}{q})^{2}+2(2q+\frac{2}{q})-35=0$ (**)

Đặt $2q+\frac{2}{q}=t$, khi đó (**) $ \Leftrightarrow t^{2} + 2t -35 = 0 \Leftrightarrow t = -7$ hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có $ 2a+\frac{2}{q}=-7 \Rightarrow 2q^{2}+2+7q\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=\frac{-7+\sqrt{33}}{2}\\q=\frac{-7-\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.$

+ Với t = 5, ta có $ 2a+\frac{2}{q}=5 \Rightarrow 2q^{2}+2-5q\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=\frac{1}{2}\\q=2\end{matrix}\right.$

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.