Giải bài tập 2.47 trang 43 SBT toán 11 tập 1 kết nối

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là $n^{2} \forall n \geq 1$.

Tám số hạng đầu của cấp số cộng $(u_{n})$ được mô tả là

$u_{1} = 4-1 = 3; u_{2} = 9 -4 = 5; u_{3} = 16-9 = 7; u_{4} = 25-16 = 9$;

$u_{5}= 36-25 = 11; u_{6} = 49- 36 = 13; u_{7} = 64 -49 = 15; u_{8} = 81-64 = 17$.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, do đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương nên

$u_{n}= (n + 1)^{2}-n^{2} = 2n + 1 ,\forall n \geq 1$.

Ta chứng minh được dãy số $(u_{n})$ là cấp số cộng với công sai d = 2.

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36, 42, 48,

$u_{1} = 1 + 27 -2 . 8 = 12$;

$u_{2} = 8 + 64 -2 . 27 = 18$;

$u_{3} = 27 + 125-2 . 64 = 24$;

$u_{4} = 64 + 216-2 . 125 = 30$;

$u_{5} = 125 + 343-2 . 216 = 36$;

$u_{6} = 216 + 512 -2 . 343 = 42$;

$u_{7} = 343 + 729 -2 . 512 = 48$.

Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng này là

$u_{n} = n^{3} + (n + 2)^{3}-2(n + 1)^{3} = 6n + 6 ,\forall n \geq 1$