Giải bài tập 2.46 trang 42 SBT toán 11 tập 1 kết nối

Gọi $T_{n}$ là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n của chương trình.

a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau $T_{1} = 10, T_{n + 1} = T_{n} + 2,\forall n \geq 1$.

b) Sáu số hạng đầu của dãy số là

$T_{1} = 10$;

$T_{2} = T_{1} + 2 = 10 + 2 = 12$;

$T_{3}= T_{2} + 2 = 12 + 2 = 14$:

$T_{4} = T_{3} + 2 = 14 + 2 = 16$;

$T_{5} = T_{4} + 2 = 16 + 2 = 18$;

$T_{6} = T_{5} + 2 = 18 + 2 = 20$.

c) Từ công thức truy hồi $T_{n + 1} = T_{n + 2}$ suy ra $T_{n + 1}- T_{n} = 2$ không đổi $\forall n \geq 1$.

Do đó, dãy số $(T_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu $T_{1} = 10$ và công sai d = 2.

Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là

$T_{n} = T_{1} + (n-1)d = 10 + (n-1).2 = 8 + 2n , \forall n \geq 1$

d) Ta có $T_{n}\geq 60 \Leftrightarrow  8 + 2n \geq 60 \Leftrightarrow  n \geq 26$.

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là

$S_{30}=\frac{30}{2}[2.10+(30-1).2]=1170$ (phút)