Giải Bài tập 1 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) Ta có: AD // B'C', AD = B'C' nên ADC'B' là hình bình hành

Suy ra: AB' // DC' nên AB' // (A'C'D) (1)

Ta có: (ACC'A') là hình bình hành nên AC // A'C'. Suy ra: AC // (A'C'D) (2) 

Mà AB', AC thuộc (ACB') (3)

(1)(2)(3) suy ra (ACB') // (A'C'D)

b) Gọi O, O' lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A'B'C'D'

Trong (BDD'B'): B'O cắt BD' mà B'O thuộc (ACB'), BD' cắt (ACB') tại $G_{1}$ 

Suy ra: B'O cắt BD' tại $G_{1}$

Tương tự ta có: DO' cắt BD' tại $G_{2}$

Ta có: $\triangle G_{1}$OB đồng dạng với $\triangle G_{1}$B'D' (do BD // B'D')

Suy ra: $\frac{G_{1}O}{G_{1}B'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2} $

Nên: $\frac{G_{1}O}{OB'}=\frac{2}{3}$

Do đó: $G_{1}$ là trọng tâm  $\triangle $ACB'.

Chứng minh tương tự ta có: $G_{2}$ là trọng tâm  $\triangle $A'C'D.

c) Ta có: $\triangle G_{1}$OB đồng dạng với $\triangle G_{1}$B'D'

Suy ra: $\frac{G_{1}B}{G_{1}D'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}$

Nên: $G_{1}B=\frac{1}{3}BD'$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{G_{2}D'}{G_{2}B}=\frac{OD'}{DB}=\frac{1}{2}$

Nên: $G_{2}D'=\frac{1}{3}DD'$ (2)

(1)(2) suy ra $G_{1}B=G_{1}G_{2}=G_{2}D'$.