Đáp án đề số 3: Đề kiểm tra cuối I môn toán lớp 12

I. Đáp số

II. Hướng dẫn giải 

Câu 8: 

Phương trình hoành độ giao điểm $(C)$ và trục hoành là: $x^{3}-2x^{2}+(1-m)x+m=0$

                                                                                    <=>   $\left\{\begin{matrix}x=1\\ x^{2}-x-m=0\end{matrix}\right.$

$(C)$ và trục hoành cắt nhau tại 3 điểm phân biệt <=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 0\\m>\frac{-1}{4}\end{matrix}\right.$

                                                                                <=> $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<4$

                                                                                <=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+1<4$

                                                                                <=> $1 +2m +1 < 4$

                                                                                <=> $m<1$

Chọn A

Câu 13:

Ta có hàm số $y=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$

Mà $\lim_{x\to +\infty }y =+\infty $ nên tồn tại số $M >2$ sao cho $y(M) >0$ ;$\lim_{x\to -\infty }y =-\infty $ nên tồn tại số $m<-2$ sao cho $y(m) <0$

      $y(-2) =-8+4a-2b+c >0$ và $y(2)=8+4a+2b+c <0$

Do $y(m).y(-2) <0$ suy ra phương trình $y=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(m;-2)$

     $y(-2).y(2) <0$ suy ra phuong trình $y=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(-2;2)$

     $y(2).y(M) <0$ suy ra phương trình $y=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(2;M)$

Vậy đồ thị hàm số $y=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ và trục $Ox$ có 3 điểm chung

Chọn D

Câu 18:

Ta có: $x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})\\<=>(x+y)^{2}=4(x+y)+8\sqrt{x-3}\sqrt{y+3}\geq 4(x+y)\\<=>\left\{\begin{matrix}x+y\geq 4\\ x+y\leq 0\end{matrix}\right.$

Mặt khác : $x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})\leq 2\sqrt{2(x+y)}<=>x+y\leq 8 =>x+y\epsilon [4;8]$

Xét biểu thức :$P= 4(x^{2}+y^{2})+15xy=4(x+y)^{2}+7xy\geq 16(x+y)+7xy=7x(y+3)+16y-5x$

Mà $\left\{\begin{matrix}y+3\geq 0\\ y\geq 4-x\end{matrix}\right.$ =>$P\geq 16(4-x)-5x=64-21x$ kết hợp với $x+y>4 => x\epsilon [3;7]=>64 -21x\geq -83$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là -83

Chọn C

Câu 24:

Trên các đoạn $SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $SE,SF =3$ 

Khi đó $S.AEF$ là khối tứ diện đều có cạnh $a=3$

Suy ra $V_{S.AEF}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$

Ta có: $\frac{V_{S.AEF}}{V_{S.ABC}}=\frac{SE}{SB}.\frac{SF}{SC}=\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$

=> $V_{S.ABC}=\frac{20}{9}.V_{S.AEF}=5\sqrt{2}$

Chọn A

Câu 40:

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x+3}{x-2}=2x+m (x\neq 2)$

                                               <=>   $g(x)=2x^{2}+(m-6)x-(2m+3)=0$         (1)

Để $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta =m^{2}-12m+36+16m+24>0\\ g(2)=8+2m-12-2m-3\neq 0\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta =m^{2}+4m+60>0\\ g(2)=-7\neq 0\end{matrix}\right.$

<=> $\forall m\epsilon \mathbb{R}$

Nên $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_{!};2x_{!}+m)$ và $B(x_{2};2x_{2}+m)$

$y'=\frac{-7}{(x-2)^{2}}$

Vì tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song nên:

$f'(x_{1})=f'(x_{2}) (x_{1}\neq x_{2})$

<=> $\frac{-7}{(x_{1}-2)^{2}} = \frac{-7}{(x_{2}-2)^{2}}$

<=> $(x_{1}-2)^{2} - (x_{2}-2)^{2} = 0$

<=> $x_{1}+x_{2} = 4$

<=> $\frac{-(m-6)}{2}=4$

<=> $m=-2$

Chọn A