I. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

HĐ1:

a. Vectơ dịch chuyển của vật từ A đến B là $\overrightarrow{AB}$ và từ B đến C là $\overrightarrow{BC}$.

b. Vectơ dịch chuyển tổng hợp của vật là $\overrightarrow{AC}$.

Kết luận: 

Với ba điểm bất kì $A, B, C$, vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, kí hiệu là $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}$

HĐ2:

a. Lấy điểm A bất kì, qua A vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$, trên đường thẳng này về phía cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$, lấy điểm B sao cho $\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{a} \right |$.

Tương tự, lấy điểm C sao cho $\left | \overrightarrow{BC} \right |= \left | \overrightarrow{b} \right |.$

Vậy ta có $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}$

b. Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$

Kết luận:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}$. Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}$.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ 1 (SGK – tr83) 

Luyện tập 1:

Ta có: 

P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{PB}= \overrightarrow{AP}$ 

Do P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của $\Delta ABC ⟹ PN= \frac{BC}{2}= MC$ và $PN // MC$

⟹ $PN = MC.$

2. Quy tắc hình bình hành

HĐ3:

a. $ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC$ và $AD = BC$

Vậy $\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}$

b. Ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}$.

Kết luận:

Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}$

Ví dụ 2 (SGK – tr84)

Luyện tập 2:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{F}= \overrightarrow{F_1}+ \overrightarrow{F_2}$

Tổng của hai hợp lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ làm thuyền chuyển động theo hướng của vectơ F.

3. Tính chất

Với ba vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ta có:

• $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}= \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán);
• $(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})+ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}+ (\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c})$ (tính chất kết hợp);
• $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}+ \overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}$ (tính chất của vectơ-không). 

Chú ý: 

Tổng ba vectơ $\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$+ $\overrightarrow{c}$ được xác định theo một trong hai cách: 

$(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})+ \overrightarrow{c}$ hoặc $\overrightarrow{a}+ (\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}).$

Ví dụ 3 (SGK – tr85)

Luyện tập 3:

Ta có:

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CE}+ \overrightarrow{AD}= (\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD})+ \overrightarrow{CE}$ (tính chất giao hoán)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CE}+ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CE}= \overrightarrow{AE}$ (đpcm)

II. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Hai vectơ đối nhau

HĐ4:

a. Hai vectơ $\overrightarrow{P_1}$ và $\overrightarrow{P_2}$ cùng hướng và độ dài.

b. Hai vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ ngược hướng và cùng độ dài.

Kết luận:

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$, kí hiệu là $\overrightarrow{-a}$. Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{-a}$ được gọi là hai vectơ đối nhau. 

Quy ước:

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{0}$ là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Lưu ý: $\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{-AB}$

Nhận xét: 

• $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{(-a)}= \overrightarrow{(-a)}+ \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}$

• Hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}= \overrightarrow{0}$.

• Với hai điểm A, B, ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BA}= \overrightarrow{0}$.

Ví dụ 4 (SGK – tr85)

Chú ý: 

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}.$

Ví dụ 5 (SGK – tr86)

Chú ý:

G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}.$

2. Hiệu của hai vectơ

HĐ5: 

a. Lấy điểm M tuỳ ý, qua M vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$, trên đường thẳng này về phía cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$, lấy điểm A sao cho $\left | \overrightarrow{MA} \right |= \left | \overrightarrow{a} \right |.$

Qua M, tiếp tục vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{b}$, trên đường thẳng này xét cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$, lấy điểm B sao cho $\left | \overrightarrow{MB} \right |= \left | \overrightarrow{b} \right |$, xét ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$, lấy điểm C sao cho $\left | \overrightarrow{MC} \right |= \left | \overrightarrow{b} \right |.$

Vậy ta được các vectơ $\overrightarrow{MA}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{b}, \overrightarrow{MC}= \overrightarrow{-b}$ như hình vẽ. 

b. Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{(-b)}$ bằng vectơ $\overrightarrow{MN}$ với N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Kết luận:

Hiệu của vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ $\overrightarrow{b}$ là tổng của vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.$

Ví dụ 6 (SGK -tr86)

Nhận xét: 

Với ba điểm $O, B, A$ ta có: $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}.$

Ví dụ 7 (SGK – tr86)

Luyện tập 4: 

Ta có: N là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{NC}= \overrightarrow{- NB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}- \overrightarrow{NB}= \overrightarrow{CM}- \overrightarrow{CN}= \overrightarrow{NM}$

$\overrightarrow{CM}- \overrightarrow{NB}= \overrightarrow{CM}- \overrightarrow{CN}= \overrightarrow{NM}$ 

Vậy $\left | \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB} \right |= \left | \overrightarrow{NM} \right |= \frac{1}{2}a$