I. HÀM SỐ BẬC HAI

HĐ1:

a. Ta có:

$y = -0,00188(x – 251,5)^2 + 188$

$ \Leftrightarrow y = -0,00188.(x^2 -503x + 63252,25) + 118$

$ \Leftrightarrow y = -0,00188x^2 + 0,94564x – 0,91423$

b. Bậc của đa thức trên bằng 2.

c. Hệ số của $x^2$ là -0,00188

Hệ số của x là 0,94564

Hệ số tự do là -0,91423.

Kết luận:
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng $y = ax^2 + bx + c$, trong đó a, b, c là những hằng số và a khác 0. Tập xác định của hàm số là R

Ví dụ 1 (SGK – tr39)

Luyện tập 1:

Ví dụ 1: $y = 3x^2 – 4x + 2$

Ví dụ 2: $y = -5x^2 + 1$

II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

HĐ2:

a. $x = -3 \Leftrightarrow y = 0$

$x = -2 \Leftrightarrow y = -3$

$x = -1 \Leftrightarrow y = -4$

$x = -0 \Leftrightarrow y = -3$

$x = -1 \Leftrightarrow y = 0$

b. Vẽ các điểm lên mặt phẳng toạ độ

c. Vẽ đường cong parabol

d. Từ đồ thị ta thấy: 

Điểm thấp nhất: C (-4;-1)

Phương trình trục đối xứng là x = -1

Đồ thị có bề lõm lên trên. 

HĐ3:

a. $x = -1 \Leftrightarrow y = 0$

$x = 0 \Leftrightarrow y = 3$

$x = 1 \Leftrightarrow y = 4$

$x = 2 \Leftrightarrow y = 3$

$x = 3 \Leftrightarrow y = 0$

b. Vẽ đồ thị: 

c. Điểm cao nhất là điểm I(1;4) 

Phương trình trục đối xứng là đường thẳng x = 1

Đồ thị hàm số đó quay bề lõm xuống dưới.

Kết luận: 

Đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ là một đường parabol có đỉnh là điểm với toạ độ $(\frac{-b}{2a}; -\frac{∆}{4a})$ và trục đối xứng là đường thẳng $x = \frac{-b}{2a}$

Nhận xét: 

- Cho hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)$, ta có: $-\frac{∆}{4a}=f(\frac{-b}{2a})$.

- Để vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c (a≠0)$, ta thực hiện các bước: 

+ Xác định toạ độ đỉnh: $(\frac{-b}{2a};\frac{-∆}{4a})$ 

+ Vẽ trục đối xứng $x = \frac{-b}{2a}$;

+ Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có toạ độ (0;c) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm có toạ độ (0;c) qua trục đối xứng $x = \frac{-b}{2a}$

+ Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$.

Chú ý: Nếu a > 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, nếu a < 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Ví dụ 2 (SGK – tr41)

Luyện tập 2:

a. $y = x^2 – 4x - 3$

Ta có: ∆ = $(-4)^2 – 4.1.(-3) = 28$

Toạ độ đỉnh I (2;-7)

Trục đối xứng x = 2

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3).

Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng x = 2 là (4;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thì hàm số: 

b. $y = x^2 + 2x + 1$

Ta có: ∆ = $2^2 – 4.1.1 = 0$

Toạ độ đỉnh I(-1;0)

Trục đối xứng x = -1

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;1)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0)

Điểm đối xứng với điểm A(0;1) qua trục đối xứng x = -1 là B(-2;1)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

c. $y = -x^2 – 2$

Ta có: ∆ = $0^2 – 4.(-1).(-2) = -8$.

Toạ độ đỉnh I(0;-2)

Trục đối xứng là x = 0

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-2)

$x = 1; y = -3 \Leftrightarrow$  Điểm (1;-3) thuộc đồ thị. Điểm đối xứng của nó qua trục đối xứng x = 0 là điểm (-1;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

:

HĐ4:

a.

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

+ Đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng $(-\infty ; -1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$.

+ Đồ thị hàm số đi lên trong khoảng $(-1; +\infty )$ nên hàm số đồnng biến trên khoảng $(-1; +\infty )$.

Ta có bảng biến thiên: 

Từ đồ thị hàm số ta thấy: 

+ Đồ thị hàm số đi lên trong khoảng $(-\infty ; 1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 1)$.

+ Đồ thi hàm số đi xuống trong khoảng $(-1; +\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; +\infty )$. 

Ta có bảng biến thiên:

Nhận xét: 

Cho hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-\frac{b}{2a})$; đồng biến trên khoảng $(-\frac{b}{2a};+\infty)$. 

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; \frac{-b}{2a})$; nghịch biến trên khoảng $(-\frac{b}{2a};+\infty)$

Ta có bảng biến thiên của hàm bậc hai như sau:

Ví dụ 3 (SGK – tr42)

Luyện tập 3: 

a. $y = x^2 – 3x + 4$

$a = 1 > 0, b = -3, c = 4, ∆ = -7, - \frac{b}{2a} = \frac{3}{2}, -\frac{∆}{4a} = \frac{7}{4}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; \frac{3}{2})$ và đồng biến trên $(\frac{3}{2};+\infty)$

b. $y = -2x^2 + 5$

$a = -2 < 0, b = 0, c = 5, ∆ = 40, -\frac{b}{2a} = 0, -\frac{∆}{4a}  = 5$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$

Ta có bảng biến thiên: 

III. ỨNG DỤNG 

Ví dụ 4 (SGK – tr42) 

Luyện tập 4:

$y = -0,00188(x – 251,5)^2 + 118$

Ta có: $(x – 251,5)^2 \geq 0$

⟺ $-0,00188(x – 251,5)^2 \leq 0$

⟺ $0,00188(x – 251,5)^2 + 118 \leq 118$

Vậy $y_{max} = 118 (m)$.