I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

HĐ1:

a) Đúng

b) Sai.

Ví dụ 1 (SGK -tr5)

Luyện tập 1:

"Số $\sqrt{3}$ là một số thực".

"Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau".

HĐ2:

Mệnh đề P là khẳng định đúng. Mệnh đề Q là khẳng định sai.

Kết luận:

Mỗi mệnh đề toán học phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vừa sai.

Ví dụ 2 (SGK – tr 6)

Luyện tập 2:

Mệnh đề đúng: 

P: " Phương trình $x^2 + 2x  + 1 = 0$ có nghiệm nguyên".

Mệnh đề sai:

Q: "$\sqrt{3}$ là số hữu tỉ ".

II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

HĐ3:

a) Ta chưa thể khẳng định tính đúng sai của câu trên.

b) "21 chia hết cho 3" là một mệnh đề toán học.

Mệnh đề trên đúng.

c) "10 chia hết cho 3" là một mệnh đề toán học.

Mệnh đề trên sai.

⇒ Mệnh đề "n chia hết cho 3" với n là số tự nhiên là một mệnh đề chứa biến.

Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x; y)....

Ví dụ 3 (SGK – tr 6)

Luyện tập 3:

P: "2 + n = 5"

Q: "x > 3"

M: "x + y  < 2"

III. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

HĐ4: Hai câu phát biểu của Kiên và Cường là trái ngược nhau.

Kết luận:

Cho mệnh đề P. Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là $\overline{P}$.

Lưu ý:

Mệnh đề $\overline{P}$ đúng khi P sai.

Mệnh đề $\overline{P}$ sai khi P đúng.

Luyện tập 4:

$\overline{P}$: "5,15 không phải là một số hữu tỉ".

$\overline{Q}$: "2023 không phải là số chẵn".

Mệnh đề $\overline{P}$ và $\overline{Q}$ sai.

Ví dụ 4 (SGk – Tr7)

Chú ý: 

Để phủ định một mệnh đề (có dạng phát biểu như trên), ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

HĐ5:

Mệnh đề R kết hợp từ hai mệnh đề P và Q, có dạng "Nếu P thì Q".

Kết luận:

- Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q.

- Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Nhận xét:

Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P⇒Q là "P kéo theo Q" hay "P suy ra Q" hay "Vì P nên Q" ....

Ví dụ 5 (SGK – tr 8)

Nhận xét: Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo P⇒Q.

Khi đó ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay 

P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

Luyện tập 5:

"Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có $AB^2+AC^2=BC^2$".

Phát biểu dưới dạng điều kiện cần:

"Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có $AB^2+AC^2=BC^2$".

V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

HĐ6:

Mệnh đề Q⇒P:

"Nếu tam giác ABC có $AB^2+AC^2=BC^2$ thì tam giác ABC vuông tại A".

Mệnh đề Q⇒P đúng, mệnh đề P⇒Q đúng.

Kết luận:

- Mệnh đề Q⇒P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P⇒Q.

- Nếu cả hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu P⇔Q.

Nhận xét:

Mệnh đề P⇔Q có thể phát biểu ở những dạng như sau:

"P tương đương Q";

"P là điều kiện cần và đủ để có Q";

"P khi và chỉ khi Q";

"P nếu và chỉ nếu Q".

Ví dụ 6 (SGK – tr8)

Luyện tập 6:

P⇒Q: "Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$".

Q⇒P: "Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$ thì tam giác ABC đều".

Mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng.

Mệnh đề P và Q tương đương, phát biểu như sau:

"Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60o".

VI. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃

HĐ7: 

Cả hai phát biểu đều là mệnh đề.

Kết luận:

Mệnh đề "∀x∈X,P(x) " đúng nếu với mọi $x_o$ ∈ X, $P(x_o)$ là mệnh đề đúng.

Mệnh đề "∃x∈X,P(x) " đúng nếu có $x_o$ ∈ X sao cho $P(x_o)$ là mệnh đề đúng.

Ví dụ 7 (SGK – tr9)

Ví dụ 8 (SGK – tr10)

HĐ8: 

An: "∀x∈R,$x^2$ là một số không âm".

Bình: "∃x∈R,$x^2$ là một số âm"

Kết luận:

Cho mệnh đề "P(x),x∈X "

Phủ định của mệnh đề "∀x∈X,P(x) " là mệnh đề "∃x∈X,P(x)".

Phủ định của mệnh đề "∀x∈X,P(x) " là mệnh đề "∃x∈X,P(x)".

Ví dụ 9 (SGK – tr10)

Luyện tập 7: 

a) Mọi số nguyên đều không chia hết cho 3.

b) Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số.