Câu 1: Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.

B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thứ ba thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu đường thẳng $d\perp (a)$ thì d vuông góc với hai đường thẳng trong $(\alpha )$.

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ thì $d\perp (\alpha ).$

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$ thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (a).

D. Nếu $d\perp (a)$ và đường thẳng a // (c) thì $d\perp a$

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Vẽ $AH\perp (BCD)$. Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB=CD.

B. AC=BD.

C. $AB\perp CD.$

D. $CD\perp BD.$

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.Khẳng định nào sau đây sai?

A. $SC\perp EF.$

B. $SC\perp AE$

C. $SC\perp AF$

D. $SC\perp BC$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. α = 60°.

B. α = 75°.

C. tan α = 1.

D. tan α = $\sqrt{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.

C. Góc giữa AC và (4BD) là góc ACB.

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và $AB= a\sqrt{2}$. Biết $SA\perp (ABC)$ và SA= a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Câu 8:Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì

A. Song song với nhau.

B. Trùng nhau.

C. Không song song với nhau.

D. Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

A. $\frac{a}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.

A. $\frac{a\sqrt{30}}{10}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

D.$ a$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 11:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45°. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$

B. $\frac{1}{3}a^{3}$

C. $2a^{3}$

D. $\frac{2}{3}a^{3}$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Câu 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật $AB=a, AD=a\sqrt{3}$, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V=\frac{2a^{3}\sqrt{6}}{3}$

B. $V=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$

C. $V=2\sqrt{6}a^{3}$

D. $V=\frac{4a^{3}}{3}$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác ABC vuông tại B, $AB = 2a, BC=a, AA' = 2a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC là

A. $4a^{3}\sqrt{3}.$

B.$ 2a^{3}\sqrt{3}$

C. $\frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Câu 14: Gọi V là thể tích của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'. V_{1}$ là thể tích của tứ diện A'ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. $V=6V_{1}.$

B. $V=4V_{1}$

C. $V=3V_{1}$

D. $V=2V_{1}$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Tự luận

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) $BC\perp (OAH).$

b) H là trực tâm của $\Delta ABC.$

c) $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$

Trả lời:

a) Ta có $BC\perp OH, BC\perp 0A, $

=> $BC\perp (OAH)$

b) Goi $E = AH\cap BC, F= BH\cap AC.$

Theo câu a ta có:

$BC\perp (AOH) $

$⇒ BC\perp AH$

$⇒ BC\perp AE (1)$

Chứng minh tương tự ta có:

$AC\perp (BOH)$

$=> AC\perp BF$

Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC.

c) Tam giác vuông AOE có:

$\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}} (3)$

Tam giác vuông BOC có:

$\frac{1}{OE^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}} (4)$

Từ (4) vào (3) 

$=> \frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).

b) Gọi O và H là trực tâm ABCD và \Delta ACD. Chứng minh OH vuông góc với (ADC).

Trả lời:

a) Ta có$ (ABC)\cap (ABD)=AB,$

$(ABC)\perp (DBC), (ABD)\perp (DBC),$

$=> AB\perp (DBC).$

Ta có: $CD\perp BE,CD\perp AB$

$=> CD\perp (ABE).$

Mà $CD\subset (ACD) $

$=> (ADC)\perp (ABE). (1)$

Ta lại có: $DF\perp  BC, DF\perp AB$

$=> DF\perp (ABC)$

$=> DF\perp AC.$

Mặt khác DK\perp AC $

$=> AC\perp (DFK).$

Mà AC \subset  (ACD) $

$=> (ADC)\perp (DFK). (2)$

Từ (1) và (2) => (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường cao BE và DF, H là giao điểm của hai đường cao AE và DK.

Ta có: $(ABE)\perp (ADC), (DFK)\perp (ADC)$ và $(ABE)\cap (DFK)=OH$

$=> OH\perp (ADC).$

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Trả lời:

Áp dụng định lý côsinh trong tam giác AHC

$CH^{2}=AC^{2}+AH^{2}-2AC.AH.\widehat{CAH}$

$CH^{2}=a^{2}+\left ( \frac{2a}{3} \right )^{2}-2.a.\frac{2a}{3}.cos60^{\circ}$

$CH^{2}=\frac{7a^{2}}{9}$

$=> CH=\frac{a\sqrt{7}}{3}$

Ta có: $SH\perp (ABC)=HCv là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC).

$=> (SC,(ABC))=(SC,HC)= \widehat{SCH} =60° (do \widehat{SCH} <90°).$

Trong $\Delta SCH$ vuông tại H có: $SH=CH.tan 60°=\frac{a\sqrt{7}}{3}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$

Dựng hình bình hành ACBD. Ta có:

$BC// AD, AD\subset (SAD)$

$⇒ BC // (SAD).$

$=> d(BC,SA)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=\frac{3}{2}d(H,(SAD)).$

Gọi E là trung điểm của AD 

$=> BE\perp AD.$

Từ H kẻ HI // BE $(I \in  AD)$

$=> HI\perp AD.$

Vẽ $HK \perp SI (K\in SI)$

Ta có: $AD \perp HI, AD\perp SH$

$=> AD\perp (SHI)$

$=> AH\perp HK$

$=> HK\perp (SAD)$

$=>d(H,(SAD))=HK$

Xét tam giác AIH vuông tại I, có 

$HI=HA.sin60^{\circ}=\frac{2a}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Trong tam giác SIH vuông tại H, ta có

$\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{HS^{2}}+\frac{1}{HI^{2}}=\frac{9}{21a^{2}}+\frac{9}{3a^{2}}=\frac{24}{7a^{2}}$

$=> HK=\frac{a\sqrt{42}}{12}$

$=> d(BC,SA)=\frac{a\sqrt{42}}{8}$

Bài 4:Cho khối chóp tam giác S.ABC có $SA\perp (ABC)$, tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB = 5a, BC = 8a, AC =7a Ta, góc giữa SB và (ABC) là 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Trả lời:

Có $(SB,(ABC))=\widehat{SBA}=45^{\circ}$

$=> SA=AB=5a$

Áp dụng định lý Heron $S_{ABC}=10\sqrt{3}a^{2}$

$=> V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.10.\sqrt{3}a^{2}.5a=\frac{50\sqrt{3}a^{3}}{3}$

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết $AB = a, BC = a\sqrt{3}$, góc giữa hai mặt phẳng (C'AB) và (ABC) bằng 60°. Tính $V_{ABC. A'B'C'}$

Trả lời:

Ta có: $AB\perp BC, AB\perp CC'$

$⇒AB\perp (BCC') $

$⇒ AB\perp C'B.$

$=> CB\perp AB, C'B\perp AB, (ABC)\cap (CAB) = AB,$

$⇒ ((ABC), (C'AB)) = \widehat{CBC'} = 60°.$

$=>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Có $CC'=BC.tan60°=3a$

$=>V_{ABC.A'B'C'}=CC'.S_{\Delta ABC}=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2}$

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với $AB=AC=a, \widehat{BAC}=120^{\circ}$, mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc $60^{\circ}.$ Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Trả lời:

 Do $AA'\perp (A'B'C')$ nên kẻ $A'I\perp B'C' (I\in  B'C').$

$=>((AB'C'),(A'B'C))=\widehat{A'IA}=60^{\circ}.$

Xét $\Delta A'IB$ có $A'I = A'B'cos \widehat{B'A'I} = a.cos60°=\frac{a}{2}$$

$=> AA' = A'I.tan\widehat{A'IA}=\frac{a}{2}tan60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

$=>V_{ABC.A'B'C'}=AA'.\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{3a^{3}}{8}$

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B'AC) tạo với đáy một góc 30°, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D'AC) bằng \frac{a}{2} Tính thể tích khối tứ diện ACB'D'.

Bài 8: Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tử giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là 60 cm và 120 cm, cạnh bên của thùng dài 100 cm. Tính thể tích của thùng.