Câu 1: Trong một cuộc gặp mặt có 63 đoàn viên tham dự, trong đó có 25 người đến từ miền Bắc, 19 người đến từ miền Nam và 19 người đến từ miền Trung.

a) Gặp ngẫu nhiên 1 đoàn viên trong cuộc gặp mặt, tính xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Nam hoặc miền Trung”.

b) Gặp ngẫu nhiên 2 đoàn viên trong cuộc gặp mặt, tỉnh xác suất của biến cố “Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc hoặc cùng đến từ miền Nam”.

Trả lời

a) Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Nam hoặc miền Trung”:  $\frac{19+19}{63}=\frac{38}{63}$

b) Xác suất của biến cố “Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc hoặc cùng đến từ miền Nam”:

 $\frac{C_{25}^{2}}{C_{63}^{2}}+\frac{C_{19}^{2}}{C_{63}^{2}}=\frac{157}{651}$

Câu 2: Một túi chứa 2 viên bị xanh, 5 viên bị đỏ và 3 viên bị vàng có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên 3 viên bị từ túi. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Cả 3 viên bị lấy ra đều có cùng màu”;

b) “Có không quá 1 viên bị xanh trong 3 viên bị lấy ra”;

c) “Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra”.

Trả lời

a) $\frac{C_{5}^{3}}{C_{10}^{3}}+\frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{11}{120}$

b) $\frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}}+\frac{2C_{8}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{14}{15}$

c) Gọi A là biển cố “Có đúng hai màu trong 3 viên bị lấy ra”. Biến cố đối của biến cố A là biến cố $B \cup  C$ với B là biến cố “Cả 3 bị lấy ra đều có cùng màu” và C là biến cố “3 viên bị lấy ra có đủ cả 3 màu”. Ta có

$P(B)=\frac{11}{120} P(C)=\frac{1}{4}$

Do B và C là hai biến cố xung khắc nên $P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\frac{41}{120}$

=$> P(A)=1-\frac{41}{120}=\frac{79}{120}$

Câu 3: Thanh có 4 tấm thẻ được đánh số 1, 3, 4, 7. Thanh lấy ra 3 trong 4 thẻ và xếp chúng thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số có 3 chữ số. Tính xác suất của biến cố 4: “Số tạo thành chia hết cho 2 hoặc 3”.

Trả lời

Số các số có 3 chữ số có thể tạo thành là 24 số.

Gọi B là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 2”. Biến cố B xảy ra khi chữ số hàng đơn vị của số tạo thành là 4. Có thể xếp được 3.2 = 6 số chia hết cho 2.

Do đó $P(B)=\frac{6}{24}$

Gọi C là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 3”. Biến cố C xảy ra khi 3 chữ số của số tạo thành là 1; 4; 7. Có thể xếp được 3 .2 = 6 số chia hết cho 3. 

Do đó $P(C)=\frac{6}{24}$

Biến cố BC xảy ra khi số tạo thành chia hết cho 6. Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố BC. Do đó $P(BC)= \frac{2}{24}$

Vậy $P(A)= P (B\cup C ) = P(B)+P(C)-P(BC)=\frac{5}{12}$

Câu 4:Cho 4 và B là hai biến cố độc lập với nhau.

a) Biết $P(A)= 0,4 và P(\overline{A}B)=0,3$. Tính xác suất của các biến cố B và $A\cup B$.

b) Biết $P(\overline{A}B)=0,4$ và $P(A\cup B)= 0,9$. Tính xác suất của các biến cố A, B và AB.

Trả lời

a) Ta có $P(\overline{A})=1-P(A)=0,6$

Do $\overline{A}$ và B là độc lập nên $P(B)=\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}= 0,5.$

Do A và B là độc lập nên

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) − P(AB) $= $P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,7.$

b) $P(A) = 0,5; P(B) = 0,8; P(AB) = 0,4.$

Câu 5: Một hộp chứa 10 quả bóng xanh và 10 quả bóng đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 5 quả bóng từ hộp. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố “Có ít nhất 3 quả bóng xanh trong 5 quả bóng lấy ra”.

Trả lời

Sơ đồ hình cây:

Xác suất của biến cố “Có ít nhất 3 quả bóng xanh trong 5 quả bóng lấy ra” là

$\frac{C_{10}^{3}C_{10}^{2}+C_{10}^{4}C_{10}^{1}+C_{10}^{5}}{C_{20}^{5}}=\frac{1}{2}$

Câu 6: Châu gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng lại. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố “Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm”.

Trả lời

Sơ đồ hình cây

Xác suất của biến cố “Châu phải giep không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm” là 

$\frac{1}{6}+\frac{5}{6}.\frac{1}{6}+\left ( \frac{5}{6} \right )^{2}.\frac{1}{6}=\frac{91}{216}$

Câu 7: Trong một trò chơi, Dương chọn ra 5 số từ 100 số tự nhiên đầu tiên. Sau đó, người ta chọn ra ngẫu nhiên 3 số may mắn từ 100 số tự nhiên đầu tiên đó. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Không có số may mắn nào trong 5 số Dương đã chọn”;

B: “Có đúng 1 số may mắn trong 5 số Dương đã chọn”.

Trả lời

 Biến cố A xảy ra khi 3 số may mắn nằm trong 95 số mà Dương không chọn. Do đó, xác suất của biến cố A là

$P(A)=\frac{C_{95}^{3}}{C_{100}^{3}}\approx 0,856.$

Biến cố B xảy ra khi trong 3 số may mắn, có 1 số Dương đã chọn, 2 số còn lại nằm trong 95 số mà Dương không chọn. Do đó, xác suất của biến cố B là

$P(B) =\frac{C_{5}^{1}}.\frac{C_{95}^{2}}{C_{100}^{3}}\approx 0,138$

Câu 8:Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bóng đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” gấp 5 lần xác suất của biển cố “Lấy được 2 quả bóng xanh”. Tính xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu”.

Trả lời

Gọi n là số bóng đỏ có trong hộp. Khi đó, tổng số bóng có trong hộp là n +3.

Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là: $\frac{C_{3}^{2}}{C_{n+3}^{2}}$

Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là: $\frac{C_{n}^{2}}{C_{n+3}^{2}}$

Theo đề bài, ta có:

$\frac{C_{n}^{2}}{C_{n+3}^{2}}=5.\frac{C_{3}^{2}}{C_{n+3}^{2}}$

$<=>\frac{n(n-1)}{2}=15$

Do n là số tự nhiên nên n=6.

Do đó, xác suất của biến cố “Cả 2 quả bóng lấy ra đều có cùng màu” là

$\frac{C_{3}^{2}}{C_{n+3}^{2}}+\frac{C_{n}^{2}}{C_{n+3}^{2}}=\frac{C_{3}^{2}}{C_{9}^{2}}+\frac{C_{6}^{2}}{C_{9}^{2}}=\frac{1}{2}A$

Câu 9: Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biển cố A: “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc chia hết cho 15”.

Trả lời:

 Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 5”, C là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 3

Khi đó, A là biến cố đổi của biển cổ B\cup C.

Ta có $P(B\cup C) = P(B)+P(C) - P(BC)$

= $\left ( \frac{5}{6} \right )^{3}+\left ( \frac{4}{6} \right )^{3}-\left ( \frac{3}{6} \right )^{3}=\frac{3}{4}$

Do đó, xác suất của biến cố A: “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc chia hết cho 15” là:

$P(A)=1-P(B\cup C)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Câu 10: Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”;

b) “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10”.

Trả lời:

a) Gọi A là biển cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”. Gọi $A_{1}$ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4”, $A_{2}$ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76”.

Khi đó, ta có $A=A_{1}\cup A_{2}$

Biến cố $A_{1} $xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó $P(A_{1})=\frac{1}{C_{40}^{2}}$

Biển cố A_{2} xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số (37; 40), (38; 40), (39; 40) hoặc (38; 39). Do đó, $P(A_{2})=\frac{4}{C_{20}^{4}}$

Do $A_{1}$ và $A_{2}$ là hai biến cố xung khắc nên

$P(A) = P(A_{1}\cup A_{2}) = P(A_{1}) + P(A_{2})= \frac{1}{156}$

b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho 5; 20 số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10. Gọi B là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10”.

Gọi $B_{1}$ là biển cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5”, $B_{2}$ là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2”.

Khi đó, B là biến cố đối của biến cố $B_{1} \cup B_{2}$

Ta có

$P(B_{1}\cup B_{2}) = P(B_{1}) + P(B_{2}) − P(B_{1}B_{2})$ =$\frac{C_{32}^{2}}{C_{40}^{2}}+frac{C_{20}^{2}}{C_{40}^{2}}-frac{C_{16}^{2}}{C_{40}^{2}}=\frac{283}{390}$

Do đó, xác suất biển cố B “Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10” là

$P(B)=1-P(B_{1}\cup B_{2})=\frac{107}{390}$