TRẮC NGHIỆM

Bài 1. Cho hàm số $y=x^{3}+3x^{2}-2$. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(-1;-6) có hệ số góc bằng

A. 18

B. -3

C. 7

D. 9

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Bài 2. Hàm số $y=x^{3}-3x+1$ có đạo hàm tại $x=-1$ bằng

A. 0

B. 6

C. -6

D. -1

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Bài 3. Cho hai hàm số $f(x)=3x^{3}-3x^{2}+6x-1$ và $g(x)=x^{3}+x^{2}-2$. Bất phương trình $f''(x)-f'(x)+g'(x)-8\geq 0$ có tập nghiệm là:

A. $\left ( 1;\frac{10}{3} \right )$

B. $(-\infty ;1]\cup [\frac{10}{3};+\infty )$

C. $[1;\frac{10}{3}]$

D. $(-\infty ;1)\cup [\frac{10}{3};+\infty )$

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Bài 4. Hàm số $y=\frac{2x-1}{3x+2}$ có đạo hàm là

A. $y'=-\frac{1}{(3x+2)^{2}}$

B. $y'=-\frac{7}{(3x+2)^{2}}$

C. $y'=\frac{1}{(3x+2)^{2}}$

D. $y'=\frac{7}{(3x+2)^{2}}$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Bài 5. Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có đạo hàm cấp hai tại x=1 là

A.$y''(1)=\frac{1}{4}$

B. $y''(1)=-\frac{1}{4}$

C. $y''(1)=\frac{1}{2}$

D. $y''(1)=-\frac{1}{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Bài 6. Hàm số $y=3^{x^{2}+1}$ có đạo hàm là

A. $(x^{2}+1)3^{x^{2}}$

B. $(x^{2}+1)3^{x^{2}+1}ln3$

C.$ 2x3^{x^{2}+1}ln3$

D. $3^{x^{2}+1}$

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Bài 7. Hàm số $y=ln(cosx)$ có đạo hàm là 

A. $\frac{1}{cosx}$

B. $-tanx$

C. $tanx$

D. $cotx$

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Bài 8. Hàm số $f(x)=e^{\sqrt{x^{2}+4}}$ có đạo hàm tại x=1 bằng

A. $f'(1)=e^{\sqrt{5}}$

B. $f'(1)=2e^{\sqrt{5}}$

C. $f'(1)=\frac{e^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$

D. $f'(1)=\frac{e^{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}$

Trả lời:

Đáp án đúng: C

B. TỰ LUẬN

Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f(x)=\sqrt{4x+1}$tại $x=2;$

b) $f(x)=x^{4}$ tại $x=-1$

c) $f(x)=\frac{1}{x+1}$

d) $f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+1}$

Trả lời:

a) $f'(2)=\frac{2}{3}$

b) $f'(-1)=-4$

c) $f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}$

d) $f'(x)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^{2}+1)^{2}}}$

Bài 2. Cho hàm số $f(x) = 2x^{3}−x^{2}+2x + 1$ có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Trả lời:

Goi tiếp tuyến là$ \Delta$ và tiếp điểm là $M(x_{0},f(x_{0}))$

Hệ số góc của \Delta là$ f'(x_{0})=6x_{0}^{2}-2x_{0}+2=6\left ( x_{0}-\frac{1}{6} \right )^{2}+\frac{11}{6}\geq \frac{11}{6}$

=> Hệ số góc $\Delta$ nhỏ nhất bằng $\frac{11}{6} khi x_{0}=\frac{1}{6}$

=> Tiếp tuyến $\Delta$ là $y-f\left ( \frac{1}{6} \right )=\frac{11}{6}\left ( x-\frac{1}{6} \right )$

=> $y=\frac{11}{6}x+\frac{109}{108}$

Bài 3. Vị trí chuyển động của một vật trên đường thẳng được biểu diễn bởi công thức $s(t)=3t^{3}+5t+ 2$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật đó khi t= 1.

Trả lời:

Ta có $s'(t)=9t^{2}+5$, vận tốc $s'(1)=14.$

Gia tốc $s"(t) = 18t$, gia tốc $s"(1)= 18$.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{x}(x^{2}-\sqrt{x}+1)$

b) $y=\frac{1}{x^{2}-3x+1}$

c) $y=\frac{2x+3}{3x+2}$

Trả lời:

a) $y'=\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$

b) $y'=\frac{2x-3}{(x^{2}-3x+1)^{2}}$

c) $y'=-\frac{5}{(3x+2)}$

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{xsinx}{1-tanx}$

b) $y=cos\sqrt{x^{2}-x+1}$

c) $y=sin^{2}3x$

d) $y=cos^{2}(cos3x)$

Trả lời:

a) $y'=\frac{sinx+xcosx-sinxtanx+xsinxtan^{2}x}{(1-tanx)^{2}}$

b) $y'=\frac{-(2x-1)sin\sqrt{x^{2}-x+1}}{2\sqrt{x^{2}-x+1}}$

c) $y'=3sin6x$

d) $y'=3sin(2cos3x)sin3x$

Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$

a) $y=f(x^{3})$

b) $Y=\sqrt{f^{2}+g^{2}}$

Trả lời:

a) $y'=3x^{2}f'(x^{3})$

b) $y'=\frac{f(x)f'(x)+g(x)g'(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}}$

Bài 7. Cho hàm số $f(x)=x^{3}+2x^{2}-mx-5$. Tìm m để

a) $f'(x)=0$ có nghiệm kép

b) $f'(x)\geq 0$ với mọi x

Trả lời:

Có$ f'(x)=3x^{2}+4x-m$

a) $\Delta '=0$

<=> $m=-\frac{4}{3}$

b) $f'(x)\geq 0 $với mọi x

=> $\Delta '\leq 0$

<=> $m\leq -\frac{4}{3}$

Bài 8. Cho hàm số$ f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+8}$. Giải phương trình $f'(x)=-\frac{2}{3}$

Trả lời:

$f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+8}}=-3(x-1)$

$<=>x=\frac{5+2\sqrt{35}}{5}$ (loại)

$x=\frac{5-2\sqrt{35}}{5}$ (nhận)

Bài 9. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) $y=\frac{x-1}{x+2}$

b) $y=\sqrt{3x+2}$

c) $y=xe^{2x}v

Trả lời:

a) $y'=\frac{3}{(x+2)^{2}}, y''=-\frac{6}{(x+2)^{3}}$

b) $y'=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}, y''=\frac{9}{4\sqrt{(3x+2)^{3}}}$

c) $y'=(2x+1)e^{2x}, y''=4(x+1)e^{2x}$