Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM. 

Trả lời:

 Đặt 2a là độ dài cạnh của tứ diện đều.

Gọi N là trung điểm của AC, H là trung điểm của MN, ta có: $MN//AB$

$=> (AB, DM)= (MN, DM).$

Có $DM=DN= a\sqrt{3},MN=a$ nên $\Delta DMN$ cân tại D.

$=> MH = \frac{a}{2} và DH\perp MN.$

$=> cos \widehat{DMN}=\frac{MH}{MD}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

$=> \widehat{DMN}\approx 73,2^{\circ}$

Vậy $(AB, DM)=(MN,DM)=\widehat{DMN}\approx 73,2^{\circ}$

Bài 2: Cho hình chóp S.4BCD có đáy là hình thoi cạnh a, $SA = a\sqrt{3}, SA\perp AC, SA\perp BC, \widehat{BAD}=$120°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) SD và BC.

b) MN và SC.

Trả lời:

 a) Vì AD // BC nên $(SD, BC)=(SD, AD).$

Vì $SA\perp BC$ và AD // BC

$=> SA\perp AD$ hay tam giác SAD vuông tại A.

$=> (SD, BC)=(SD,AD)= \widehat{SDA}=60^{\circ}$

b) $Vì MN // CD nên (SC, MN)=(SC, CD).$

Vì ABCD là hình thoi cạnh a có $\widehat{A}=$120°

=> ACD là tam giác đều cạnh a.

Xét các tam giác vuông SAC, SAD có

$SC=\sqrt{AC^{2}+SA^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$

$SD=\sqrt{AD^{2}+SA^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác SCD

$cos\widehat{SCD}=\frac{SC^{2}+CD^{2}-SD^{2}}{2.SC.CD}=\frac{1}{4}$

$=> \widehat{SCD}\approx 75,5^{\circ}$

Vậy $(SC, MN)=(SD, AD)=\widehat{SCD}\approx 75,5^{\circ}$

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=CD,AC=BD,AD=BC.

a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b) Chứng minh hai đoạn nổi các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

Trả lời:

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC.

Ta có$ \Delta ACD = \Delta BDC$ (c.c.c)

$=> AN=BN,$

$=> \Delta NAB$ cân tại N. Mà M là trung điểm của AB,

$=> NM\perp AB.$

Tương tự ta có $NM\perp CD.$

b) Ta có $MQ=PN=\frac{AC}{2}$

$MP=QN=\frac{BD}{2}$

$AC=BD$

$=> MQ=PN=MP=ON.$

Vậy tứ giác MPNQ là hình thoi, suy ra $MN\perp PQ.$

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của S4, SD, SC và BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) II và DC;

b) MN và IJ.

Trả lời:

 a) Ta có $IJ // SB, DC // AB$

$=> (IJ, DC)=(SB, AB)=\widehat{SBA}=$60°.

b) Ta có $MN // AD // BC, IJ // SB$

$=> (MN, IJ)=(BC,SB)=\widehat{SBC}=$60°.

Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Trả lời:

 Qua O vẽ đường MN // CD (M = BC, N = BD).

Ta có $OM=ON, AM=AN, $

$=> \Delta AMN cân tại A$

$=> A0 \perp MN. $

Mà MN // CD

$=> AO\perp CD.$