Câu 1. Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và $AB\perp (BCD)$. Cho biết $BC=a\sqrt{2}, AB=\frac{a}{\sqrt{3}}.$ Xác định và tỉnh góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

 Trả lời:

Gọi I là trung điểm của CD.

Ta có: $CD\perp BI$ và $CD\perp AB$

$=> CD // AI$

Khi đó: $(ACD)\cap (BCD)=CD;$

$AI\perp CD, AI\subset (ACD);$

$BI\perp CD, BI\subset (BCD)$

$=> ((ACD), (BCD))=(AI, BI).$

Do tam giác BCD vuông tại B 

$=> BI=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC\sqrt{2}=a$

Xét tam giác ABI vuông tại B, ta có

$tan\widehat{AIB}=\frac{AB}{AI}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$=> \widehat{AIB}=30^{\circ}$

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết $SA=a$ và $SA\perp (ABCD).$ Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là 60°. Tính độ dài SI.

Trả lời:

Vẽ $AK\perp ID (K\in ID).$

Ta có $ID\perp SA và ID\perp AK$

$⇒ ID \perp (SAK) ⇒ ID\perp SK.$

$=> ((SDI), (ABCD))= \widehat{AKS} =60^{\circ}$

Xét tam giác SAK vuông tại A, ta có:

$sin \widehat{AKS}=\frac{SA}{SK}$

$=> SK=\frac{SA}{sin60^{\circ}}$

Tam giác SAD vuông tại A, ta có

$SD=\sqrt{a^{2}+4a^{2}}=a\sqrt{5}$

Xét tam giác SID vuông tại S, ta có:

$\frac{1}{SK^{2}}=\frac{1}{SI^{2}}+\frac{1}{SD^{2}}$

$<=> \frac{1}{SI^{2}}=\frac{1}{SK^{2}}-\frac{1}{SD^{2}}$

$=> SI=\frac{2a\sqrt{55}}{11}$

Câu 3.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $SA\perp (ABC).$

a) Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SAB).$

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng $(SBM)\perp (SAC).$

 Trả lời:

a) Ta có: $BC\perp AB$ (giả thiết),

$BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC))$

$⇒ BC\perp (SAB)$

$(SBC)\perp (SAB).$

b) Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B

$=> BM\perp AC.$

Mà $BM\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC) $)

$=> BM\perp (SAC).$

$=> (SBM)\perp (SAC).$

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh rằng:

a) $(SBC)\perp (SAB);$

b) $(SCD)\perp (SAD);$

c) $(SBD)\perp (SAC);$

d) $(SAC)\perp (AHK).$

Trả lời:

a) Ta có: $(SAB)\perp (ABCD);$

$(SAD)\perp (ABCD);$

$(SAB) \cap (SAD)=SA$

$=> SA\perp (ABCD)$

Khi đó: $BC\perp AB$ (giả thiết);

$BC\perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD))$

⇒ $BC\perp (SAB) ⇒ (SBC)\perp (SAB).$

b) Chứng minh tương tự câu a, ta được: $(SCD)\perp (SAD)$

c) Ta có: $BD\perp AC$ (giả thiết);

⇒ $BD\perp SA$(vì $SA\perp (ABCD)$)

=> $BD\perp (SAC)⇒(SBD)\perp (SAC).$

d) Ta có: $(SAB)\perp (SBC)$ (chứng minh trên);

$(SAB)\cap (SBC) = SB;$

$AH\perp SB$ (giả thiết)

$⇒ AH\perp (SBC) ⇒ AH\perp SC.$

Ta có: $(SCD)\perp (SAD)$ (chứng minh trên);

$(SCD)\cap (SAD) = SD;$

$AK\perp SD $(giả thiết)

$⇒ AK\perp (SCD) ⇒ AK\perp SC$

Từ (1) và (2) suy ra: $SC\perp (AHK).$

Vậy $(SAC)\perp (AHK).$

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA=a\sqrt{3}$. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt của hình chóp.

b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Trả lời:

a) Ta có: $(SAB)\perp (ABCD);$

$(SAD)\perp (ABCD);$

$(SAB)\cap (SAD) = SA$

$⇒ SA\perp (ABCD).$

Chứng minh được $(SAD)\perp (SCD).$

Vě $AM\perp SD (M \in SD) ⇒ AM\perp (SCD)$

$= (ABM)\perp (SCD)$ hay (ABM) là mặt phẳng $(\alpha )$ qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ MN // CD $(N\in SC).$

=> MN // AB ⇒ $MN\subset$ (α).

Vậy các giao tuyến của (\alpha ) với các mặt của hình chóp là AB, BN, NM, MA

b) Ta có MN // AB và $AB \perp AM$ (vì $AB\perp (SAD)$) nên ABNM là hình thang vuông tại A và M

Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên

$\frac{1}{AM^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AD^{2}}$

                        $=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$

$=> AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

có MN // CD

$=> \frac{MN}{CD}=\frac{SM}{SD}$

$=> \frac{MN}{CD}=\frac{\frac{SA^{2}}{SD}}{SD}=\frac{SA^{2}}{SA^{2}+AD^{2}}=\frac{3a^{2}}{4a^{2}}$

$=> MN=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}a$

$=> S_{ABNM}=\frac{1}{2}AM.(MN+AB)=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \left ( \frac{3}{4}a+a \right )=\frac{7a^{2}\sqrt{3}}{16}$

Câu 6. Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1 m và cạnh bên bằng 2 m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.

Trả lời:

$S_{tp}=4.\frac{\sqrt{15}}{2}\cdot \frac{2+1}{2}+4+1$

$S_{tp}=5+3\sqrt{5}\approx 16,62 (m^{2})$

Câu 7. Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15), cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 50 cm. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.

Trả lời:

$\frac{S_{xq}}{S_{đáy}}=\frac{6.50.10}{6.\frac{10^{2}\sqrt{3}}{4}}\approx 11.55$