Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa

a) SB và (ABCD);

b) SC và (ABCD);

c) SD và (ABCD);

d) SB và (SC).

Trả lời:

a) Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$SB\cap  (ABCD) = B$

=> AB là hình chiếu của SB trên (ABCD).

Do đó $(SB, (ABCD))=(SB, AB).$

Trong tam giác SAB vuông tại A, ta có:

$tan \widehat{SBA} =\frac{SA}{SB}=\sqrt{3} $

$=>\widehat{SBA} =$ 60°.

Vậy $(SB, (ABCD)) = SBA=$60°.

b) Ta xác định được $(SC, (ABCD))=(SC, AC).$

Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: $tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{SC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$=> \widehat{SCA}\approx 50,8^{\circ}$

Vậy $(SC; (ABCD))=\widehat{SCA}\approx 50,8^{\circ}$

c) Ta xác định được $(SD, (ABCD))=(SD, AD).$

Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có: $tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}$

$=> \widehat{SDA}=60^{\circ}$

Vậy $(SD, (ABCD))= \widehat{SDA}=60^{\circ}$

d) Ta có:

$BD\perp AC$

$BD\perp SA$

$=> BD\perp (SAC) hay BO \perp (SAC) $

mà $SB\cap (SAC)=S$

=> SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

$=> (SB, (SAC))=(SB, SO).$

Trong tam giác SBO vuông tai O, ta có $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}, SB=2a$

$=> sin\widehat{BSO}=\frac{BO}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$=> \widehat{BSO}\approx 20,7^{\circ}$

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh 4B. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Trả lời:

Vì AI là hình chiếu của SA trên (ABC).

Do đó $(SA, (ABC))=(SA,AI).$

Vì tam giác SAI vuông cân tại I

$=> \widehat{SAI}=45^{\circ}$

Vậy $(SA, (ABC))=(SA,AI)= \widehat{SAI}=45^{\circ}.$

b) Ta có tam giác ABC đều 

$=> CI\perp AB, CI =\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có:

$CI\perp AB$

$CI\perp SI$ (do $SI\perp (ABC)$)

$=> CI \perp (SAB)$

Mà $SC \cap (SAB)=S.$

=> SI là hình chiếu của SC trên (SAB).

=> $(SC, (SAB))=(SC, SI).$

Trong tam giác SAB vuông tại S, $SI=\frac{1}{2} AB=\frac{3}{2}$

Trong tam giác SCI vuông tại I, ta có $tan\widehat{ CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}$

$=> \widehat{CSI}=60^{\circ}$

Vậy $(SC, (SAB))= \widehat{CSI}=60^{\circ}$

Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{15}}{6}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC,A].

Trả lời:

Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có $SG\perp (ABC), SM\perp BC, AM\perp BC,$

$=> \widehat{SMG}$ là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]

Có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}, GM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$SM=\sqrt{SB^{2}-BM^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

$SG=\sqrt{SM^{2}-GM^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ta có tam giác SMG vuông cân tại G, 

=> góc phẳng nhị diện $[S, BC,A]=\widehat{SMG}=$45°.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp (ABC)$. Tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30^{\circ}, AC=a, SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC,A].

Trả lời:

Vẽ $AH\perp BC$ (H ∈ BC), ta có $SH\perp BC,$

$=> \widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Ta có $AH=AC.sin60^{\circ} =\frac{a\sqrt{3}}{2}=SA$

$=> \widehat{SHA}= 45^{\circ}.$