Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a) $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \right )^{0}$

b) $\left ( \frac{2}{5} \right )^{-2}$

c) $\left ( \frac{-1}{3} \right )^{-4}$

d) $(-55)^{0}$

e) $2^{-8}.2^{5}$

g) $\frac{3^{4}}{(3^{-2})^{-3}}$

Trả lời:

a) $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \right )^{0}=1$

b) $\left ( \frac{2}{5} \right )^{-2}=\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}=\frac{25}{4}$

c) $\left ( \frac{-1}{3} \right )^{-4}=\frac{1}{\left ( \frac{1}{3} \right )^{4}}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81$

d) $(-55)^{0}=1$

e) $2^{-8}.2^{5}=2^{-8+5}=2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$

g) $\frac{3^{4}}{(3^{-2})^{-3}}=\frac{3^{4}}{3^{-2.-3}}$

$=\frac{3^{4}}{3^{6}}=3^{4-6}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}$

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a) $\sqrt[3]{0,001}$

b) $\sqrt[5]{-32}$

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$

d) $-\sqrt[6]{100^{3}}$

e) $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^{4}}$

g) $\sqrt[5]{(2-\sqrt{5})^{5}}$

Trả lời:

a) $\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{(0.1)^{3}}=0,1$

b) $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-1).32}=\sqrt[5]{(-1)^{5}.2^{5}}$

$=\sqrt[5]{(-1)^{5}}.\sqrt[5]{2^{5}}=(-1).2=-2$

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^{4}}{2^{4}}}$

$=\sqrt[4]{\left ( \frac{3}{2} \right )^{4}}=\frac{3}{2}$

d) $-\sqrt[6]{100^{3}}=-\sqrt[6]{(10^{2})^{3}}=-\sqrt[6]{10^{6}}=-10$

e) $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^{4}}=\left | \sqrt{3}-2 \right |=2-\sqrt{3}$

g) $\sqrt[5]{(2-\sqrt{5})^{5}}=2-\sqrt{5}$

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}$

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}$

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}$

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}$

g) $(-\sqrt[6]{4})^{3}$

Trả lời:

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{125.5}=\sqrt[4]{5^{4}}=5$

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac{243}{3}}=\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}}=3$

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}=\sqrt[3]{\frac{3}{24}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\sqrt[3]{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}=\frac{1}{2}$

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^{6}}=2$

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{(\sqrt[3]{3})^{3}.\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{(\sqrt[3]{3})^{4}}=\sqrt[3]{3}$

g) $(-\sqrt[6]{4})^{3}=(-1)^{3}.(\sqrt[6]{4})^{3}$

$=-\sqrt[6]{4^{3}}=-\sqrt[6]{(2^{2})^{3}}=-\sqrt[6]{2^{6}}=-2$

Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}$

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}$

d) $(\sqrt[4]{5})^{5}-\sqrt{\sqrt[4]{25}}$

Trả lời:

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{3^{3}.5}-5\sqrt[3]{5}$

$=\sqrt[3]{3^{3}}.\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}=3\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}=-2\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}$

$=\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{4}}}+3\sqrt[3]{3}$

$=\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{3}=4\sqrt[3]{3}$

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}$

$=\sqrt[4]{\sqrt[5]{2^{4}}}+\sqrt[5]{2^{6}}+2\sqrt[5]{2}$

$=\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}=5\sqrt[5]{2}$

d) $(\sqrt[4]{5})^{5}-\sqrt{\sqrt[4]{25}}$

$=(\sqrt[4]{5})^{4}.\sqrt[4]{5}-\sqrt{\sqrt[4]{5^{2}}}$

$=5\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{5}=4\sqrt[4]{5}$

Bài 5: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau

a) $8^{\frac{-2}{3}}$

b) $32^{\frac{-2}{5}}$

c) $81^{1,25}$

d) $1000^{\frac{-5}{3}}$

e) $\left ( \frac{16}{81} \right )^{\frac{-1}{4}}$

g) $\left ( \frac{8}{27} \right )^{\frac{-2}{3}}$

Trả lời:

a) $8^{\frac{-2}{3}}=(2^{3})^{\frac{-2}{3}}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$

b) $32^{\frac{-2}{5}}=\left ( \frac{1}{32} \right )^{\frac{2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{32^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{(2^{5})^{2}}}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$

c) $81^{1,25}=81^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{81^{5}}=\sqrt[4]{(3^{4})^{5}}=3^{5}=243$

d) $1000^{\frac{-5}{3}}=(\frac{1}{1000})^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1000^{5}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{(10^{3})^{5}}}=\frac{1}{10^{5}}=10^{-5}$

e) $\left ( \frac{16}{81} \right )^{\frac{-1}{4}}$

$=\left ( \frac{81}{16} \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^{4}}{2^{4}}}=\frac{3}{2}$

g) $\left ( \frac{8}{27} \right )^{\frac{-2}{3}}$

$=\left ( \frac{27}{8} \right )^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{\left ( \frac{27}{8} \right )^{2}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}=\frac{9}{4}$

 Bài 6: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa (a>0)

 Trả lời:

a) $\sqrt[4]{2^{-3}}$

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{2^{3}}}$

c) $(\sqrt[5]{3})^{4}$

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}$

e) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a^{3}}:(\sqrt[6]{a})^{5}$

g) $a^{\frac{1}{3}}:a^{\frac{-3}{2}}.a^{\frac{2}{3}}$

Trả lời:

a) $\sqrt[4]{2^{-3}}=\sqrt[4]{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}=(\frac{1}{2})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{-3}{4}}$

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{2^{3}}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{5}}}=2^{\frac{-3}{5}}$

c) $(\sqrt[5]{3})^{4}=\sqrt[5]{3^{4}}=3^{\frac{4}{5}}$

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt{(\sqrt[3]{a})^{3}.\sqrt[3]{a}}=\sqrt{(\sqrt[3]{a})^{4}}=\sqrt[3]{a^{2}}=a^{\frac{2}{3}}$

e) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a^{3}}:(\sqrt[6]{a})^{5}=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{3}{4}}:a^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{4}}$

g) $a^{\frac{1}{3}}:a^{\frac{-3}{2}}.a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{1}{3}-(-\frac{3}{2})+(-\frac{2}{3})}=a^{\frac{7}{6}}$

Bài 7: Sử dụng máy tính cầm tay. tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư): 

a) $15^{\frac{2}{5}}$

b) $20^{\frac{-1}{2}}$

c) $5,7^{2,4}$

d) $0,45^{-2,38}$

Trả lời:

a) $15^{\frac{2}{5}}=2,9542.    $

b) $20^{\frac{-1}{2}}=0,2236.$

c) $5,7^{2,4}=65,1778$

d) $0,45^{-2,38}=6,6889$

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}$

b) $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$

c) $[(\sqrt{7})^{\sqrt{2}}]^{\sqrt{8}}$

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}$

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}$

g) $(a^{-\sqrt{3}}b^{\frac{1}{\sqrt{3}}})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

Trả lời:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}$

$=2^{\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)}$

$=2^{2}=4$

b) $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$

$=3^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}=3^{\sqrt{16}}=3^{4}=81$

c) $[(\sqrt{7})^{\sqrt{2}}]^{\sqrt{8}}$

$=(\sqrt{7})^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}=(\sqrt{7})^{\sqrt{16}}=7^{2}=49$

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}$

$=a^{2\sqrt{5}+1-(2\sqrt{5}-2)}=a^{3}$

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}$

$=3^{3+\sqrt{2}+(-1+\sqrt{2})+2.(1-\sqrt{2})}$

$=3^{4}=81$

g) $(a^{-\sqrt{3}}b^{\frac{1}{\sqrt{3}}})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$=(a^{-\sqrt{3}})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}.(b^{\frac{1}{\sqrt{3}}})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$=a^{-1}.b^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{b}}{a}$

Bài 9. Cho a>0, b>0. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}).(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})$

b) $(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}).(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$

Trả lời:

a) $(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}).(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})$

$=(a^{\frac{1}{2}})^{2}-(b^{\frac{-1}{2}})^{2}$

$=a^{\frac{1}{2}.2}-b^{\frac{-1}{2}.2}$

$=a-b^{-1}=a-\frac{1}{b}$

b) $(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}).(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$

$=a^{\frac{1}{3}.3}+b^{\frac{1}{3}.3}=a+b$

Bài 10: Biết rằng $5^{2x}=3$. Tính gái trị của biểu thức $\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^{x}+5^{-x}}$

Trả lời:

$\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^{x}+5^{-x}}$

$=\frac{(5^{x}+5^{-x})(5^{2x}-5^{x}5^{-x}+5^{-2x})}{5^{x}+5^{-x}}$

$=5^{2x}-1+5^{-2x}=3-1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$

Bài 11: Biết rằng $3^{\alpha }+3^{-\alpha }=3$. Tính giá trị của các biểu thức sau

a) $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}$

b) $3^{2\alpha }+3^{-2\alpha }$

Trả lời:

a) $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}$

$= 3^{\alpha }+2.3^{\frac{\alpha }{2}}.3^{\frac{-\alpha }{2}}$

$=3^{\alpha }+2+3^{-\alpha }=3+2=5$

b) $3^{2\alpha }+3^{-2\alpha }$

$=(3^{\alpha }+3^{-\alpha })^{2}-2.3^{\alpha }.3^{-\alpha }=3^{2}-2=7$

Bài 12: Biết rằng $4^{x}=25^{y}=10$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Trả lời:

$4^{x}=25^{y}=10 => 4=10^{\frac{1}{x}}; 25=10^{\frac{1}{y}}$

$=> 10^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=10^{\frac{1}{x}}.10^{\frac{1}{y}}=4.25=100=10^{2}$

$=> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$

Bài 13. Cường độ ánh sáng tại độ sâu h (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức $I_{h}=I_{0}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{h}{4}}$, trong đó $I_{0}$ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó

a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m?

Trả lời:

a) Gọi cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m là I1. Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m dưới một mặt hồ được tính bằng công thức:

$\frac{I_{1}}{I_{0}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{4}}\approx 0,84=84%$

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng 84% so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

b) Tỉ số cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m là:

$\frac{I_{3}}{I_{6}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{4}{4}-\frac{6}{4}}\approx 1,68$ (lần)

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp khoảng 1,68 lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m.