Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $3^{2x+1}=\frac{1}{27}$

b) $5^{2x}=10$

c) $3^{x}=18$

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$

e) $5^{3x}=25^{x-2}$

g) $\left ( \frac{1}{8} \right )^{x+1}=\left ( \frac{1}{32} \right )^{x-1}$

 Trả lời

a) $3^{2x+1}=3^{-3}$

$<=> 2x+1=-3$

$<=> x=-2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2.$

b) $5^{2x}=10$

$<=> 2x=log_{5}10$

$<=> x=\frac{1}{2}log_{5}10$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{1}{2}log_{5}10$

c) $3^{x}=18$

$<=> x=log_{3}18$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=log_{3}18$

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$

$<=>5^{1-x}=5^{\frac{-3}{2}}$

$<=>1-x=\frac{-3}{2}$ (do 5 > 1)

$<=> x=\frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{5}{2}$

e) $5^{3x}=25^{x-2}$

$<=>5^{3x}=5^{2x-4}$

$<=>3x=2x-4 $

$<=> x=-4$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = – 4.$

g) $\left ( \frac{1}{8} \right )^{x+1}=\left ( \frac{1}{32} \right )^{x-1}$

$<=>2^{-3(x+1)}=2^{-5(x-1)}$

$<=>–3x – 3 = –5x + 5$ (do 2 > 1)

$<=>2x = 8 <=> x = 4.$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) $log_{3} (2x - 1) = 3;$

b) $log_{49} x = 0,25;$

c) $log_{2} (3x + 1) = log_{2} (2x - 4);  $

d)$ log_{5} (x - 1) + log_{5} (x - 3) = log_{5} (2x + 10);$

e) $logx + log (x – 3) = 1;$

g) $log_{2}(log_{81} x) = -2.$

 Trả lời

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0

Ta có: $log_{3} (2x - 1) = 3$

$<=> 2x - 1 = 3^{3} = 27$

$<=> x = 14$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: $log_{49} x = 0,25$

$<=>log_{7^{2}}x=\frac{1}{4}$

$<=>\frac{1}{2}log_{7}x=\frac{1}{4}$

$<=>log_{7}x=\frac{1}{2}$

$<=>x=\sqrt{7}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = {\sqrt{7}}$

c) Điều kiện:x > 1

Ta có: $log_{2} (3x + 1) = log_{2} (2x - 4)$

$<=> 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)$

$<=> x = – 5$ (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $x > 3$

Ta có: $log_{5} (x - 1) + log_{5} (x - 3) = log_{5} (2x + 10)$

$<=>log_{5} (x - 1)(x - 3)= log_{5} (2x + 10)$

$<=>log_{5}(x^{2}-4x+3)= log_{5} (2x + 10)$

$<=> x^{2} ­– 4x + 3 = 2x + 10  (do 2 >1)$

$<=> x^{2} – 6x – 7 = 0.$

$<=> x = 7$ (nhận) hoặc x = –1 (loại)    

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện:x > 3

Ta có:  $log x + log (x – 3) = 1$

$<=> log [x(x – 3)] = 1$

$<=> log (x^{2} – 3x)=1$

$<=> x^{2}– 3x – 10 = 0$ (do 10 >1)

$<=> x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: x > 1

Ta có: $log_{2} (log_{81} x) = -2$

$<=>log_{81} x = 2^{-2} $

$<=>x = 81^{2^{-2}}=3$ (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = {3}.$

Bài 3: Giải các bất phương trình sau

a) $4^{x}<2\sqrt{2}$

b) $\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{x-1}\geq \frac{1}{9}$

c) $5.\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}<40$

d) $4^{2x}<8^{x-1}$

e) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{2-x}\leq \left ( \frac{1}{25} \right )^{x}

g) $0,25^{x-2}>0.5^{x+1}$

Trả lời

a) Ta có $4^{x}<2\sqrt{2}$

$<=> 2^{2x}<2\sqrt{2}$

$<=> 2x<log_{2}2\sqrt{2}$

$<=> 2x<\frac{3}{2}$

$<=> x<\frac{3}{4}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S =(-\infty ;\frac{3}{4})$

b) $\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{x-1}\geq \frac{1}{9}$

$<=>3^{\frac{-1}{2}(x-1)}\geq 3^{-2}$

$<=>\frac{-1}{2}(x-1)\geq -2 $

$<=>x\leq 5$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;5]$

c) $5.\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}<40$

$<=>2^{-x} < 8$

$<=> 2^{-x} <2^{3}$

$<=>x>-3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-3; +\infty )$

d) $4^{2x}<8^{x-1}$

$<=>2^{4x}<2^{3x-3}$

$<=>4x<3x-3(do 2 > 1)$

$<=> x < – 3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;-3)$

e) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{2-x}\leq \left ( \frac{1}{25} \right )^{x}$

$<=>5^{x-2}\leq 5^{-2x}$

$<=>x-2\leq -2x$ (do 5 >1)

$<=>3x\leq 2$

$<=>x\leq \frac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;frac{2}{3}]$

g) $0,25^{x-2}>0.5^{x+1}$

$<=>0,5^{2x-4}>0.5^{x+1}$

$<=>2x-4<x+1$(do 0 < 0,5 < 1)

$<=>x < 5.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;5)$

Bài 9: Cho hai số thực a và b thỏa mãn 125^{a} . 25^{b}= 3. Tính giá trị của biểu thức:P = 3a + 2b.

Ta có: 125^{a} . 25^{b} = 3

⇔ 5^{3a} . 5^{2b} = 3

⇔ 5^{3a+2b} = 3

⇔ 3a + 2b = log_{5}3.

Bài 10: Đồng vị phóng xạ Uranium - 235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kỳ bán rã là T = 703 800 000 năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium - 235 thì sau t năm, do bị phân rã, lượng Uranium - 235 còn lại được tính bởi công thức M = 100\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T}}(g). Sau thời gian bao lâu thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu?

Lượng Uranium - 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu là 90 g.

Khi đó M = 90 g, ta có phương trình:

90=100\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T}}

<=>\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T}}=0,9

=> t\approx 106 979 777 (năm)

Vậy sau khoảng 106 979 777 năm thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu.

Bài 11: Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililit nước chứa P0 vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước có 9 000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước là 6 000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000?

6000=9000.10^{-2\alpha }

=>\alpha =-\frac{1}{2}log\frac{6000}{9000}

=>\alpha =-\frac{1}{2}log\frac{3}{2}

Để số lượng vi khuẩn trong mỗi milit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000, ta có: 9000.10^{-\alpha t}\leq 1000

<=> 10^{-\alpha t}\leq \frac{1}{9}

<=>-\alpha t\leq log\frac{1}{9}

=> t\geq -\frac{2}{\alpha }log\frac{1}{3}\approx 10,8 (giờ)

Vậy sau khoảng 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000.