Bài 1.Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=\frac{-3x^{2}}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^{3}}{3}$

b) $y=(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{2}+9)$

c) $y=\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+x+1}$

d) $y=\frac{1-2x}{x+1}$

e) $y=x.e^{2x+1}$

g) $y=(2x+3)3^{2x+1}$

h) $y=xln^{2}x$

i) $y=log_{2}(x^{2}+1)$

Trả lời:

a) $y=\frac{-3x^{2}}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^{3}}{3}$

$y'=-3x-\frac{2}{x^{2}}+x^{2}$

b) $y=(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{2}+9)$

$y'=2x(3x^{4}+8x^{2}-41)$

c) $y=\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+x+1}$

$y'=\frac{3x^{2}+2x-2}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

d) $y=\frac{1-2x}{x+1}$

$y'=-\frac{3}{(x+1)^{2}}$

e) $y=x.e^{2x+1}$

$y'=(2x+1)e^{2x+1}$

g) $y=(2x+3)3^{2x+1}$

$y'=2.3^{2x+1}[(2x+3)ln3+1]$

h) $y=xln^{2}x$

$y'=ln^{2}x+2lnx$

i) $y=log_{2}(x^{2}+1)$

$y'=\frac{2x}{(x^{2}+1)ln2}$

Bài 2. Cho hàm số: $f(x)=3x^{3}-4\sqrt{x}$

Tính $f(4); f'(4); f(a^{2}); f'(a^{2})$ (a là hằng số khác 0)

Trả lời:

Ta có $f'(x)=9x^{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}$

$=>  f(4)=184; f'(4)=143; f(a^{2})=3a^{6}-4\left | a \right |$; $f'(a^{2})=9a^{4}-\frac{2}{\left | a \right |}$

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=(1+x^{2})^{20}$

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$

Trả lời:

a) $y=(1+x^{2})^{20}$

$y'=40x(1+x^{2})^{19}$

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$

$y'=\frac{-x+4}{2(1-x)\sqrt{1-x}}$

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=\frac{x}{sinx-cosx}$

b) $y=\frac{sinx}{x}$

c) $y=sinx-\frac{1}{3}sin^{3}x$

d) $y=cos(2sinx)$

Trả lời:

a) $y'=\frac{sinx−cosx−x(sinx+cos x)}{(sinx-cosx)^{2}}$

b) $y'=\frac{xcosx-sinx}{x^{2}}$

c) $y' = cos^{3} x;$

d) $y'=-2cosx.sin(2sinx)$

Bài 5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) $y=xsin2x$

b) $y=cos^{2}x$

c) $y=x^{4}-3x^{3}+x^{2}-1$

Trả lời:

 a) $y" = 4cos 2x - 4xsin 2x;$

b) $y" = -2cos 2x;$

c) $y"=12x^{2}-18x + 2.$

Bài 6. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $s = 100 + 2t – t^{2}$ trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t= 3s.$

Trả lời:

 a) $s'(t) = 2 - 2t$

$s'(t) =0 $

$=> 2-2t=0$

$⇒t=1.$

Vận tốc chất điểm bằng 0 khi $t= 1 s.$

b) Khi $t= 3 s.$

$s'(3)=2-2.3=-4 (m/s);$

$s"(3)=-2 => a(3) = -2 m/s^{2}.$

Vậy khi $t= 3 s$ thì vận tốc của vật là $–4 m/s$. Gia tốc của vật là $-2 m/s^{2}.$

Bài 7. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) =−2t^{3} + 75t+3$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tinh vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=3.

Trả lời:

Ta có $s'(t)=–6t^{2}+ 75$

$=> s"(t) =–12t.$

Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t=3$ là $s'(3)=21$ và $s"(3)=–36$.

Bài 8. Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là $P(x)= 200(x – 2)(17 −x)$ (nghìn đồng). Tỉnh tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm.

Trả lời:

 Ta có $P'(x) = −400x + 3800$. Tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là $P'(30)=−8200.$