Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên S4 vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Trả lời:

Gọi E là trung điểm của BC thì $BC\perp AE$ (vì $\Delta ABC$ đều).

Ta có $BC\perp SA$ và $BC\perp AE$

$=> BC\perp (SAE)$

$⇒ (SBC)\perp (SAE).$

Trong mặt phẳng (SAE), vẽ $AF\perp  SE (F\in SE).$

$=> AF\perp (SBC)$ hay $d(A, (SBC))=AF.$

Xét $\Delta SAE$ vuông tại A:

$\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AE^{2}}=\frac{2}{3a^{2}}+\frac{4}{3a^{2}}=\frac{2}{a^{2}}$

$=> AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy $d(A,(SBC))=AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài 2:  Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Trả lời:

a) Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên $SG\perp (ABC)$ hay $d(S,(ABC))=SG$

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3a nên

$AG=\frac{2}{3}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Tam giác SAG vuông tại G nên

$SG=\sqrt{SA^{2}-AG^{2}}=\sqrt{4a^{2}-3a^{2}}= a.$

Vậy $d(S, (ABC))=a.$

b) Vì $SC\cap (SAG)=S nên \frac{d(M,(SAG))}{(C,(SAG))}=\frac{MS}{CS}=\frac{1}{2}$

$⇒d(M, (SAG)) =\frac{1}{2}d(C, (SAG))$

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: $CB\perp AI và CB\perp SG$

$=> CB\perp (SAG) và CB\cap  (SAG)=I$

$=> d(C,(SAG))=CI=\frac{1}{2}BC=\frac{3a}{2}$

$=> d(M, (SAG))=\frac{3a}{4}$

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD 4'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B'C'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B'D'.

Trả lời:

B'D' cắt A'C' tại O. Gọi P là trung điểm của OC'.

Vẽ OH\perp MP, HE // NP, EF // OH.

Ta có: $d(MN, B'D')=EF=OH.$

Xét tam giác vuông MOP, ta có $OM= a, OP=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

$=> OH = \frac{a}{3}$

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $\sqrt{11}$. Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tỉnh khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B'C'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI

Trả lời:

Gọi O là trung điểm AC, J là trung điểm OD.

Vě $OH\perp BJ$, HE // AC, EF // OH.

Ta có $d(AC, BJ)=EF=OH.$

Xét tam giác OBD cân tại O, ta có

$BD =\sqrt{11}, OB=OD=\frac{\sqrt{33}}{2}, BJ=\frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{\Delta OBD}=\frac{11\sqrt{2}}{4}, OH=\sqrt{2}$

Bài 5: Cho hình chóp S.4BC có tam giác ABC vuông cân tại B,$AC=a\sqrt{2}$, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Trả lời:

Ta có: $(SAC)\perp (ABC)$ và $(SAC)\cap (ABC)=AC.$

Trong mặt phẳng (SAC), vẽ $SH\perp AC$ (H ∈ AC) thì $SH \perp (ABC).$

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và BC thì $((SAB), (ABC))=\widehat{SIH};$

$((SBC), (ABC)) = \widehat{SKH}$

Mà $\widehat{SIH} = \widehat{SKH} =60$° nên HI=HK.

=> Tứ giác BIHK là hình vuông nên H là trung điểm cạnh AC

=> Tứ giác BIHK là hình vuông cạnh $\frac{a}{2} và SH=HI.tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (4BCD) và $SA=a\sqrt{3}$, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a, AD=3a,BC=a. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.

Trả lời:

Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.(AD+ BC)=\frac{1}{2}a. (3a+a)=2a^{2}$

mà $S_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}AB.AD=\frac{1}{2}a.3a=\frac{3a^{2}}{2}$

$=> S_{\Delta BCD}=S_{ABCD}-S_{\Delta ABD}=\frac{a^{2}}{2}$

$=> V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.S_{\Delta BCD}.SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

Bài 7: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a.

Biết $d(A, (A'BC))=\frac{a\sqrt{57}}{12}$. Tính $V_{ABC.A'B'C'}$

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên AI.

Ta có: $BC\perp AI và BC\perp AA'$

$=> BC\perp (A'AI)$

$=> (A'BC)\perp (A'AI).$

Mặt khác: $(A'AI) \cap (A'BC)=A'I$ và $AH\perp A'I.$

$=> d(A,(A'BC))=AH=\frac{a\sqrt{57}}{12}$

$\Delta ABC$ đều cạnh a

$=> AI=\frac{a\sqrt{3}}{2} và S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác A'AI vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{A'A^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}-\frac{1}{AI^{2}}=\frac{144}{57a^{2}}-\frac{4}{3a^{2}}=\frac{68}{57^{2}}$

$=> AA'=\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}$

$=> V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.AA'=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}=\frac{a^{3}\sqrt{171}}{8\sqrt{17}}$

Bài 8: Một hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm Tính thể tích của khối tứ diện ACB'D'.

Trả lời:

Ta có $V_{ABCD.A'B'C'D'}$

$=V_{BAB'C}+V_{DACD'}+V_{A'B'AD'}+V_{C'B'CD'}+V_{ACB'D'}=4V_{BAB'C}+V_{AC'B'D'}$

$=> V_{ACB'D}=V_{ABCD.A'B'C'D'}-4V_{BAB'C}$

         $  =V_{ABCD.A'B'C'D'}-4\frac{1}{6}V_{ABCD.A'B'C'D'}$

           $=\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'}$

           $= \frac{1}{3}.2.3.6=12 (cm^{3})$

Bài 9: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C' có đường cao HH' = 2a. Cho biết $AB=2a,A'B' = a$. Gọi $B_{1}, C_{1},$ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của

a) Khối chóp cụt đều ABC.A'B'C';

b) Khối lăng trụ $ABC AB_{1}C_{1}A'B'C'.$

Trả lời:

a) Áp dụng công thức V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')$

với $S=a^{2}\sqrt{3}, S'=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, h=2a$

Ta có: $V=\frac{1}{3}.2a.\left ( a^{2}\sqrt{3}+\sqrt{a^{2}\sqrt{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \right )$

$V=\frac{7a^{3}\sqrt{3}}{6}$

b) Áp dụng công thức $V'=S'.h'$ với $S'=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, h'=2a$

Ta có $V'=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.2a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

Bài 10: Tính thể tích một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 80 cm, đáy nhỏ có cạnh bằng 40 cm và cạnh bên bằng 80 cm

Trả lời:

Ta có $OC=40\sqrt{2}, O'C'=20\sqrt{2}$

$=> CH=20\sqrt{2}$

Trong tam giác vuông C'CH, ta có

$C'H=\sqrt{CC'^{2}-CH^{2}}=20\sqrt{14}$

$=> OO'=C'H=20\sqrt{14}$

Thể tích của cái sọt đựng đồ là 

$V=\frac{1}{3}\cdot 20\sqrt{14}.(6400+\sqrt{6400.1600}+1600)\approx 279377,08 cm^{2}$