Bài 1: Một hộp chứa 4 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. Các cây bút có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên 3 cây bút từ hộp. Gọi A là biến cố “Có 1 cây bút đỏ trong 3 cây bút được lấy ra”. Gọi B là biến cố “Có 1 cây bút đen trong 3 cây bút được lấy ra”.

a) Hãy tìm một biến cố xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B.

b) Tính xác suất của các biến cố A, B và AB.

Trả lời:

a) Biến cố "Lấy ra được 1 bút đen và 2 bút xanh" xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B

b) $P(A)=P(B)= \frac{C_{1}^{1}C_{5}^{2}}{C_{6}^{3}}=0,5$

AB là biến cố "Lấy ra được 1 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ"

=> $P(AB)=\frac{C_{4}^{1}C_{1}^{1}C_{1}^{1}}{C_{6}^{3}}=0,2$

Bài 2: Hộp thứ nhất chứa 4 viên bị xanh và 1 viên bị đỏ. Hộp thứ hai chứa 1 viên bị xanh và 3 viên bị đỏ. Các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bị. Gọi A là biến cố “Cả 2 viên bị lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”; B là biến cố “Cả 2 viên bị lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu”.

a) Minh nói AB là biến cố “Trong A viên bị lấy ra có 2 viên bị xanh, 2 viên bi đỏ”. Minh nói đúng hay sai? Tại sao?

b) So sánh P(AB) với P(A)P(B).

c) Hãy tìm một biến cố khác rỗng, xung khắc với cả biến cố A và biến cố B

Trả lời:

a) Minh nói sai vì nếu lấy ra từ hộp thứ nhất 1 viên bi xanh, 1 viên bị đỏ; lấy ra từ hộp thứ hai 1 viên bi xanh, 1 viên bị đỏ thì trong 4 viên bị lấy ra có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ nhưng cả hai biến cố A và B đều không xảy ra.

b) $P(A)=\frac{C_{4}^{2}C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}C_{4}^{2}}=0,6$

$P(B)=\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}C_{4}^{2}}=0,5$

$P(AB)=\frac{C_{4}^{2}C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}C_{4}^{2}}=0,3$

Vậy $P(A)P(B)=P(AB)$

c) Gọi C là biến cố “Lấy ra từ mỗi hộp 1 viên bị xanh, 1 viên bị đỏ”. Biến cố C xung khắc với cả hai biến cố A và B.

Bài 3: Một hộp chứa 50 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi A là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 4”, B là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 6”.

a) Giang nói AB là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 24”. Giang nói như vậy đúng hay sai? Tại sao?

b) Hai biến cố A và B có độc lập không? Tại sao?

Trả lời:

a) Giang nói sai vì nếu lấy được thẻ ghi số 12 thì cả hai biến cố A và B xảy ra nhưng 12 không chia hết cho 24.

b) $P(A)=\frac{12}{50}; P(B) =\frac{8}{50}$

AB là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 12” nên $P(AB)=\frac{4}{50}$

Vì P(A)P(B)\neq P(AB) nên A và B không là hai biến cố độc lập.

Bài 4: Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết $P(\overline{A}) = 0,4$ và P(B) = 0,1. Hãy tính xác suất của các biển cố AB, $\overline{A}B và\overline{A}\overline{B}$

b) Biết $P(A)+P(B) = 0,8$ và P(AB) = 0,16. Hãy tính xác suất của các biến cố B, $\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}.$

Trả lời:

a) $P(A) = 1-P(\overline{A}) = 0,6; $

$P(\overline{B}) = 1 − P(B) = 0,9.$

Do $A và B là hai biến cố độc lập nên P(AB)=P(A)P(B)=0,06.$

Do $\overline{A} và B là hai biển cố độc lập nên P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)=0,04.$

Do $\overline{A} và \overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})=0,36.$

b) $P(A)+P(B)=0,8$ và $P(AB)=P(A)P(B)=0,16.$

$=> P(A) = P(B)=0,4.$

$P(\overline{A})=1-P(A) = 0,6; $

$P(\overline{B}) = 1-P(B) = 0,6.$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên $P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)=0,24.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên $P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})=0,36.$

Bài 5: Minh mua 2 bóng đèn. Theo một kết quả thống kê, tỉ lệ bị hỏng trong năm đầu sử dụng của loại bóng đèn Minh mua là 23%. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Cả hai bóng đèn đều bị hỏng trong năm đầu sử dụng”;

B: “Cả hai bóng đèn đều không bị hỏng trong năm đầu sử dụng”.

Trả lời:

Do tỉ lệ bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 23% nên xác suất 1 bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 0,23.

$P(A) = 0,23.0,23 = 0,0529; P(B) = (1-0,23)(1-0,23) = 0,5929.$