Bài 1. Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ Chứng minh rằng $y'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} (x\neq 0)$

Trả lời:

Với $x_{0} \neq 0,$ ta có

$y'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_{0}}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_{0}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{xx_{0}}+\sqrt[3]{x_{0}})}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xx_{0}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x_{0}^{2}}}$

$=> y’(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x_{0}^{2}}}$

Bài 2. Cho parabol (P) có phương trình $y=x^{2}$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P)

a) Tại điểm (−1; 1);

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y=-3x+2.$

Trả lời:

a) Có $y'(-1)=-2$

b) Giao điểm của (P) với đường thẳng $y=-3x+2$ là $x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ và $x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc là $k=-3+\sqrt{17}$ và $k=-3-\sqrt{17}$

Bài 3.Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên R

Trả lời:

a) Ta có $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\frac{1}{3}\neq \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=4$ nên f gián đoạn tại 2, do đó f không có đạo hàm tại 2

b) $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=3=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=f(1)$ nên f liên tục tại 1

Ta lại có $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=4, \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2$

$=> \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\neq \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

=> Không tồn tại $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

Vậy f không có đạo hàm tại 1

Bài 4. Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = x^{3} – 2x^{3} + 1$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng $y=−x+2;$

b) Vuông góc với đường thẳng $y=\frac{-1}{4}x-4$

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Trả lời:

a) Hai tiếp tuyến: $y=-x+1,y=-x+\frac{31}{27}$

b) Hai tiếp tuyến: $y=4x-7,y=4x+\frac{67}{3}$

c) Hai tiếp tuyến: $y=1,y=-x+1.$

Bài 5. Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s(t) = 2t^{2}+5t + 2$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây.Tính vận tốc tức thời tại thời điểm t = 4.

Trả lời:

Ta có $s'(t)=4t+5, s'(4)=21$m/s