Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh $a\sqrt{2}$. Biết rằng $SA=SB = SC=SD, SO=2a\sqrt{2}$

a) Chứng minh $SO\perp (ABCD).$

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.

Trả lời:

a) Ta có $SA=SC$

$=> \Delta SAC$ cân tại S

$=> SO\perp AC$. (1)

Ta có SB = SD,

$=> \Delta SBD$ cân tại S

$=> SO\perp BD.$

Từ (1) và (2)

$=> SO \perp ABCD$

b) Ta có AC=2a, OC = a,

$SC = \sqrt{SO^{2}+OC^{2}} = 3a.$

Vẽ đường cao AH của tam giác SAC. Ta có:

$AH=\frac{SO.AC}{SC}=\frac{4a\sqrt{2}}{3}$

Câu 2:  Cho tứ diện ABCD có $AB\perp CD$ và $AC\perp BD$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm của $\Delta BCD$ và $AD\perp BC.$

Trả lời:

 Ta có $CD\perp AB$ và $CD\perp AH$

$=> CD\perp (ABH)$

$=> CD\perp BH.$

Tương tự ta có$ BD\perp CH.$

Vậy H là trực tâm của ABCD.

Ta có H là trực tâm của ABC

$=> BC\perp DH.$

Mà $BC\perp AH$

$=> BC\perp (AHD)$

$=> BC\perp AD.$

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có $DA\perp (ABC)$, ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ $AH\perp MD$ tại H.

a) Chứng minh rằng $AH\perp (BCD).$

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng $GK\perp (ABC).$

Trả lời:

a) Ta có $BC\perp DA, BC\perp AM$

$=>  BC\perp (ADM)$

$=> BC\perp AH.$

Có $AH\perp DM,$

$=> AH\perp (BCD).$

b) Ta có $\frac{MK}{MD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$

$=> GK//AD.$

Ta lại có $AD\perp (ABC)$

$=> GK\perp (ABC).$

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA=SC, SB=SD.

a) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD).$

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh rằng $IJ\perp (SBD).$

c) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC).$

Trả lời:

a) Ta có SA = SC

$=> \Delta SAC$ cân tại S

$=> SO\perp AC.$ (1)

Tương tự ta có $SO\perp BD.$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $SO\perp (ABCD).$

b) Ta có $AC\perp BD và AC\perp SO$

$=> AC\perp (SBD).$

Ta có IJ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$=> IJ // AC,$

$=> IJ\perp (SBD).$

c) Ta có $BD\perp AC$ và $BD\perp SO,$

$=> BD\perp (SAC).$