2. BÁN KÍNH QUA TIÊU

Hoạt động khám phá 2: Cho điểm M(x,y) nằm trên hypebol

(H): $\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$=1

a) Chứng minh rằng $F1M^2$ –$F2M^2$ = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh

F2 + MF1= -2$\frac{cx}{a}$

Từ đó, chứng minh các công thức: F1=-a-$\frac{c}{a}$

F2= a-$\frac{c}{a}$x

c, Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh

F2 + MF1= . Từ đó, chứng minh các công thức: 

F1=a+$\frac{c}{a}$; 

F2= -a+$\frac{c}{a}$x

Vận dụng 2: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đingr A2(a,0) trên hypebol 

 (H): $\frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}$=1

Thực hành 3: Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a, (H1): $\frac{x^2}{4}$ + $\frac{y^2}{1}$=1

b, (H2): $\frac{x^2}{9}$ + $\frac{y^2}{25}$=1

c, (H3): $\frac{x^2}{3}$ + $\frac{y^2}{3}$=1

Vận dụng 4: Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . $10^8$ km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Thực hành 4: Tìm tọa đọ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đưởng chuẩn tướng ứng của các hypebol sau: 

a, (H1): $\frac{x^2}{4}$ + $\frac{y^2}{1}$=1

b, (H2): $\frac{x^2}{36}$ + $\frac{y^2}{64}$=1

c, (H3): $\frac{x^2}{9}$ + $\frac{y^2}{9}$=1

BÀI TẬP

1. Cho hypebol (H): $\frac{x^2}{144}$ + $\frac{y^2}{25}$=1

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm

(3; $\frac{25}{12}$) trên (H)

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF1 = 2NF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (H).

3. Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).