Giải hoạt động khám phá 2 trang 52 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo
2. BÁN KÍNH QUA TIÊU
Hoạt động khám phá 2: Cho điểm M(x,y) nằm trên hypebol
(H): $\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$=1
a) Chứng minh rằng $F1M^2$ –$F2M^2$ = 4cx.
b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh
F2 + MF1= -2$\frac{cx}{a}$
Từ đó, chứng minh các công thức: F1=-a-$\frac{c}{a}$
F2= a-$\frac{c}{a}$x
c, Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh
F2 + MF1= 
. Từ đó, chứng minh các công thức:
F1=a+$\frac{c}{a}$;
F2= -a+$\frac{c}{a}$x
a, $F1M^2$
= $[x – (– c)]^2$+ $(y – 0)^2$
= $(x + c)^2$ +$y^2$
= $x^2$ + 2cx +$c^2$ +$y^2$
$F1M^2$
=$(x – c)^2$ + $(y – 0)^2$
=$x^2$ - 2cx +$c^2$ +$y^2$
$F1M^2$ - $F1M^2$
= ($x^2$ + 2cx +$c^2$ +$y^2$) - ($x^2$ - 2cx +$c^2$ +$y^2$)
=4cx.
b, Ta có: $F1M^2$ - $F1M^2$=4cx.
=>(MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx
=> (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx
=> MF1 + MF2 =$\frac{4cx}{2a}$= $\frac{-2cx}{a}$
Khi đó:
(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) =$\frac{-2cx}{a}$ + 2a
=> 2MF1 =$\frac{-2cx}{a}$x+ 2a
=> MF1= a+ $\frac{cx}{a}$
MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = $\frac{2cx}{a}$ - 2a
=> 2MF2 = $\frac{2cx}{a}$ -2a
=> MF2= -a+ $\frac{cx}{a}$
Bình luận