Giải bài tập 3 trang 55 chuyên đề toán 10 chân trời sáng tạo
3. Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2 thoả mãn F1F2 = 4r
a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).
b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).
a, Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C);
I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C).
Vì F2 nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').
Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF1 ⇒⇒ IF2 + r = IF1 ⇒⇒ IF1 – IF2 = r
Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF1 ⇒⇒ IF2 – r = IF1
⇒⇒ IF2 – IF1 = r.
Vậy ta luôn có |IF2 – IF1| = r trong cả hai trường hợp
⇒⇒ I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.
b, Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F1F2 và F1, F2 đều nằm trên trục Ox.
Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là
$\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$=1 (a > 0, b > 0).
Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = $\frac{r}{2}$
F1F2 = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2$ = $\frac{15r^2}{4}$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là
$\frac{x^2}{\frac{r}{2}}$ - $\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}$=1
Bình luận