Giải Hoạt động 9 trang 11 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) 

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lầm lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $\widehat{AOM}=\alpha $

Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

$OM^{2}=OH^{2}+MH^{2}$

Suy ra $\widehat{AOM}=\alpha $ hay $1=cos^{2}α + sin^{2}α$

Vậy $cos^{2}α + sin^{2}α=1$

b) Ta có: $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha };cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$, (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra $tan\alpha .cot\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }.\frac{cos\alpha }{sin\alpha }=1$

c) Với cosα ≠ 0, ta có:

$1+tan^{2}α  =1+(\frac{sin\alpha }{cos\alpha })^{2}=\frac{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ (do $cos^{2}α + sin^{2}α=1$)

d) Với sinα ≠ 0, ta có:

$1+cot^{2}α  =1+(\frac{cos\alpha }{sin\alpha })^{2}=\frac{sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }=\frac{1}{sin^{2}\alpha }$ (do $cos^{2}α + sin^{2}α=1$)