Giải câu 2 trang 65 toán VNEN 8 tập 1

a) Vì MD $\perp$ AB và AC $\perp$ AB (gt) nên MD // AC

$\Rightarrow$ $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (so le trong)

Xét $\Delta$ADM và $\Delta$MEA, có: 

• $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (cmt)
• AM chung
• $\widehat{DAM}$ = $\widehat{MEA}$ (= 90$^{0}$)

$\Rightarrow$ $\Delta$AMD = $\Delta$MEA (g.c.g)

b) Vì $\Delta$AMD = $\Delta$MEA (cmt) $\Rightarrow$ DM = AE

Vì MD // AC (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{EDM}$ = $\widehat{DEA}$ (so le trong)

Xét $\Delta$DMO và $\Delta$EAO, có: 

• $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (cmt)
• DM = EA (cmt)
• $\widehat{ODM}$ = $\widehat{OEA}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$DMO = $\Delta$EAO (g.c.g)

$\Rightarrow$ OM = OA $\Rightarrow$ O là trung điểm AM

$\Rightarrow$ OD = OE $\Rightarrow$ O là trung điểm DE

c) Kẻ AH vuông góc với BC

Trường hợp M trùng H $\Rightarrow$ AM = AH (1)

Trường hợp M không trùng H

Xét tam giác AHM vuông tại H (AH vuông góc với BC)

$\Rightarrow$ AM > AH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM $\geqslant$ AH

Như vậy AM có độ dài nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.