Giải Bài tập 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) Ta có: M là trọng tâm của $\triangle $BCD, mà I là trung điểm của CD 

Nên: M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của $\triangle $ACD, mà I là trung điểm của CD 

Nên: N nằm  trên trung tuyến AI (2)

Từ (1)(2) suy ra: M và N thuộc (ABI).

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.

Ta có: HK // AB

Mà AB // MN

Suy ra: MN // HK. 

Theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{GM}{GH}=\frac{GN}{GK}=\frac{MN}{HK}$ (1)

Ta có: $\frac{HK}{AB}=\frac{1}{2}$, $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$

Do đó: $\frac{MN}{AB}:\frac{HK}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MN}{HK}=\frac{2}{3}$ (2)

(1)(2) suy ra: $\frac{GM}{GH}=\frac{2}{3} GH=\frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{GM}{\frac{1}{2}GA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{GA}=\frac{1}{3}$

Chứng minh tương tự ta được: $\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$. 

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

$\triangle $AHD có: $\frac{HM}{HD}=\frac{HQ}{HA}=\frac{1}{3}$

Suy ra: QM // AD 

Do đó: $\triangle $QGM đồng dạng với $\triangle $DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM// AD nên $\frac{QM}{AD}=\frac{HM}{HD}=\frac{HQ}{HA}=\frac{1}{3}$

Mà $\frac{QM}{AD}=\frac{QG}{GD}$

Do đó: $\frac{QG}{GD}=\frac{1}{3}$

Chứng minh tương tự ta được: $\frac{GP}{GC}=\frac{1}{3}$

Suy ra điều cần chứng minh.