Giải Bài tập 7 trang 76 sgk Toán 8 tập 2 Chân trời

a) Xét tam giác vuông AMH và AHB ta có: $\widehat{A}$ chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên $\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}$ hay $AM.AB=AH^{2}$ (1)

Xét tam giác vuông ANH và AHC ta có: $\widehat{A}$ chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên $\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}$ hay $AN.AC=AH^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM . AB = AN . AC

c) Ta có AM . AB = AN . AC, do đó $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

Xét tam giác vuông AMN và ABC ta có:

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

Suy ra ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ => BC = 15 (cm)

Ta có AH . BC = AB . AC => AH . 15 = 9 . 12 => AH = 7,2 (cm)

Xét tứ giác AMHN có bốn góc vuông nên AMHN là hình chữ nhật, do đó AH = MN = 7,2 (cm)

Vậy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{MN}{BC}=\frac{7,2}{15}=\frac{12}{25}$

Nên tỉ số diện tích của tam giác AMN và ABC là $k^{2}=\frac{144}{625}$

Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}AB.AC=54 (cm^{2})$

Diện tích tam giác AMN là: $54 . \frac{144}{625}=12,4416(cm^{2})$

Vậy diện tích tam giác AMN: $12,4416(cm^{2})$