Giải bài tập 5 trang 60 SBT toán 8 tập 2 cánh diều:

a) Đặt AB = c, AC = b. Vì BD // AC (cùng vuông góc với AB) và BD = AB nên

$\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$

=> $\frac{AH}{AH + HB}=\frac{b}{b+c}$ hay $\frac{AH}{AB}=\frac{b}{b+c}$

Do đó AH = $\frac{bc}{b+c}$ (1).

Tương tự, ta có AB // CF (cùng vuông góc với AC) và CF = AC nên

$\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$.

=> $\frac{AK}{KC+AK}=\frac{c}{b+c}$ hay $\frac{AK}{AC}=\frac{c}{b+c}$.

Do đó AK = $\frac{bc}{b+c}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK.

b) Từ $\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{b}{c}$ và $\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{c}{b}$

=> $\frac{AH}{HB}=\frac{KC}{AK}$.

Mà AK = AH nên $\frac{AH}{HB}=\frac{KC}{AH}$.

Do đó AH$^{2}$ = AK$^{2}$ = BH.KC.